ВС перпендикулярен плоскости, следовательно, перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание С. ⇒ ∆ ВСА - прямоугольный с прямым углом С.
По т.о 3-х перпендикулярах: если наклонная перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости, значит, этой прямой перпендикулярна и ее проекция.
ВА - перпендикулярен ребру МК двугранного угла, следовательно его проекция СА перпендикулярна прямой МК.
Величиной двугранного угла является градусная мера его линейного угла.
Линейный угол двугранного угла – угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.
АВ и АС перпендикулярны МК. Следовательно, угол ВАC -искомый.
а) Проведем BH⊥A₁C₁. Искомое расстояние BH = d есть высота BH - ΔBA₁C₁. ΔA₁BC₁ равносторонний — все его стороны, будучи диагоналями граней, равны ⇒ A₁B = BC₁ = √2, cледовательно:
б) Проведем BH⊥BD₁ Искомое расстояние AH = d есть высота AH - ΔABD₁. ΔABD₁ - прямоугольный. Действительно, прямая AB⊥(ADD₁) и поэтому перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости — в частности, прямой AD₁.
ВС перпендикулярен плоскости, следовательно, перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание С. ⇒ ∆ ВСА - прямоугольный с прямым углом С.
По т.о 3-х перпендикулярах: если наклонная перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости, значит, этой прямой перпендикулярна и ее проекция.
ВА - перпендикулярен ребру МК двугранного угла, следовательно его проекция СА перпендикулярна прямой МК.
Величиной двугранного угла является градусная мера его линейного угла.
Линейный угол двугранного угла – угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.
АВ и АС перпендикулярны МК. Следовательно, угол ВАC -искомый.
ctg BAC =2:2√3=1/√3 - это котангенс 60°.
Угол ВАС=60°
Дано:
ABCDA₁B₁C₁D₁ - куб
AB = 2
--------------------------------
Найти:
а) р(B, A₁C₁) - ?
б) р(A, BD₁) - ?
а) Проведем BH⊥A₁C₁. Искомое расстояние BH = d есть высота BH - ΔBA₁C₁. ΔA₁BC₁ равносторонний — все его стороны, будучи диагоналями граней, равны ⇒ A₁B = BC₁ = √2, cледовательно:
sin∠BA₁H → BH/BA₁ → BH = BA₁ × sin60° = √2 × √3/2 = √6/2 ⇒ BH = р(B, A₁C₁) = √6/2
(Рисунок показан внизу где влево).
б) Проведем BH⊥BD₁ Искомое расстояние AH = d есть высота AH - ΔABD₁. ΔABD₁ - прямоугольный. Действительно, прямая AB⊥(ADD₁) и поэтому перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости — в частности, прямой AD₁.
Имеем: AB = 2, AD₁ = √2, BD₁ = √3
Если S — площадь треугольника ABD₁, то получаем:
2S = AB×AD₁ = BD₁×AH ⇒ AH = AB×AD₁/BD₁ = 2×√2/√3 = 2√2/√3 × √3/√3 = 2√2×3/(√3)² = 2√6/3 ⇒ р(A, BD₁) = AH = 2√6/3
(Рисунок показан внизу где вправо).
ответ: а) р(B, A₁C₁) = √6/2, б) р(A, BD₁) = 2√6/3