СОЧ Точка О делит сторону NK прямоугольника MNKP в отношении 4:3, считая от точки N. Отрезки MK и PO пересекаются в точке А. Площадь треугольника KAO равна 90 см^2. Найдите площадь треугольника MAP.

Пусть боковые стороны-х, меньшее верхнее основание-а, нижнее-в
т.к. в трапецию можно вписать окружность, то справедливо равенство, что х+х=а+в, т.к. Р=200, то 100=100, т.к. х+х=100, и а+в=100, т.е. х=50, а+в=100
применим известную площадь. S=h*(а+в)/2, h=S*2/(а+в)=40
высота =40, боковая сторона 50. 
опустим высоты из верхнего основания.
по бокам образовались треугольники, найдем их основания-по Т. Пифагора=30 (треугольники со сторонами 30,40,50)
нижнее основание в=30+30+а, т.к. а+в=100, то а+(30+30+а)=100, а=20, следовательно, в=80
в равнобедренной трапеции диагонали образуют подобные треугольники (верхний с верхним основанием, и нижний с нижним основание) по двум углам, коэфициент подобия - а:в=20:80=1:4. следовательно, и высоты этих треугольников относятся как 1:4, возьмем за меньшую высоту у,  т.е. если вся высота 40, то 1у+4у=40, у=8

                           РЕШЕНИЕ
АВС – равносторонний треугольник →все стороны и углы равны (углы по 60 градусов), медиана является высотой и биссектрисой →А D  перпендикуляр к ВС, АD делит сторону ВС пополам.

∆ АDВ – прямоугольный
АВ = 12 см, DВ = 6 см
По теореме Пифагора : АD˄2 = АВ˄2 - DВ˄2
АD˄2=12˄2-6˄2
АD˄2=108
АD=6√3 см
Можно по формуле для равностороннего ∆ АВС : L= АD=(a*√3)/2,  где  a сторона равностороннего ∆ АВС
 АD=(12*√3)/2 = 6√3 см

 ∆ АDС – прямоугольный
H = DM = (a*b)/c,  где a=АD, b=DС, с=АС
H = DM = (АD * DС)/ АС =( 6√3*6)/12 = 3√3 см

∆ АDМ – прямоугольный
По теореме Пифагора : АМ˄2 = АD˄2 - DМ˄2
АМ˄2 = (6√3)˄2 – (3√3)˄2
АМ˄2 = 81
АМ = 9 см  

ОТВЕТ: АМ=9 см.