1.
S = S(сектора) - SΔ.
S(сектора) = (π·R²·60)/360 = π·R²/6.
SΔ = (1/2)·R·R·sin(60°) = (1/2)·R²·(√3)/2 = R²·(√3)/4.
R = 12.
S(сектора) = π·12²/6 = π·(6·2)²/6 = π·6·4 = 24π
SΔ = 12²·(√3)/4 = (3·4)²·(√3)/4 = 9·4·(√3) = 36·(√3).
S = 24π - 36·(√3).
2.
S = S(сектора) - SΔ,
Косинус центрального угла найдем по т. косинусов.
12² = 20² + 20² - 2·20·20·cos(α) = 2·20²·(1 - cos(α)),
144 = 2·400·(1 - cos(α)),
1 - cos(a) = 144/800 = 3²·4²/(16·50) = 9/50 = 18/100 = 0,18
cos(a) = 1 - 0,18 = 0,82,
теперь найдем сам центральный угол:
a = arccos(0,82)
(в радианах).
S(сектора) = π·R²·arccos(0,82)/(2π) = (R²/2)·arccos(0,82).
R = 20,
S(сектора) = (20²/2)·arccos(0,82) = (400/2)·arccos(0,82) = 200·arccos(0,82).
Найдем синус центрального угла
sin(a) = √(1 - cos²(a)) = √(1 - 0,82²) = √(1 - 0,6724) = √0,3276 = √(3276/10000) =
= √(819/2500) = 3·√(91)/50
SΔ = (1/2)·20·20·sin(a) = 200·3·√(91)/50 = 4·3·√(91) = 12·√91.
S = S(сектора) - SΔ = 200·arccos(0,82) - 12·√91.
3.
S = S(сектора) - SΔ
R = 10
S(сектора) = π·R²·60/360 = π·R²/6 = π·10²/6 = 100π/6 = 50π/3.
SΔ = (1/2)·R·R·sin(60°) = (1/2)·100·(√3)/2 = 25·√3,
S = (50π/3) - 25·√3,
5.
S = π·R₁² - π·R₂² = π·3,5² - π·1,5² = π·( (7/2)² - (3/2)²) = π·( (49 - 9)/4) = π·40/4 = 10π
6.
S = S(круга) - S(квадрата).
Найдем сторону квадрата по т. Пифагора.
R² + R² = a²,
R = 10,
a² = 2·R²
S(квадрата) = a² = 2R² = 2·10² = 200.
S(круга) = π·R² = π·10² = 100π,
S = 100π - 200.
7. Площадь сектора
S = π·R²·(360 - 60)/360 = π·R²·(300/360) = π·R²·5/6,
R = 8
S = π·8²·5/6 = π·64·5/6 = π·32·5/3 = 160π/3.
1.
S = S(сектора) - SΔ.
S(сектора) = (π·R²·60)/360 = π·R²/6.
SΔ = (1/2)·R·R·sin(60°) = (1/2)·R²·(√3)/2 = R²·(√3)/4.
R = 12.
S(сектора) = π·12²/6 = π·(6·2)²/6 = π·6·4 = 24π
SΔ = 12²·(√3)/4 = (3·4)²·(√3)/4 = 9·4·(√3) = 36·(√3).
S = 24π - 36·(√3).
2.
S = S(сектора) - SΔ,
Косинус центрального угла найдем по т. косинусов.
12² = 20² + 20² - 2·20·20·cos(α) = 2·20²·(1 - cos(α)),
144 = 2·400·(1 - cos(α)),
1 - cos(a) = 144/800 = 3²·4²/(16·50) = 9/50 = 18/100 = 0,18
cos(a) = 1 - 0,18 = 0,82,
теперь найдем сам центральный угол:
a = arccos(0,82)
(в радианах).
S(сектора) = π·R²·arccos(0,82)/(2π) = (R²/2)·arccos(0,82).
R = 20,
S(сектора) = (20²/2)·arccos(0,82) = (400/2)·arccos(0,82) = 200·arccos(0,82).
Найдем синус центрального угла
sin(a) = √(1 - cos²(a)) = √(1 - 0,82²) = √(1 - 0,6724) = √0,3276 = √(3276/10000) =
= √(819/2500) = 3·√(91)/50
SΔ = (1/2)·20·20·sin(a) = 200·3·√(91)/50 = 4·3·√(91) = 12·√91.
S = S(сектора) - SΔ = 200·arccos(0,82) - 12·√91.
3.
S = S(сектора) - SΔ
R = 10
S(сектора) = π·R²·60/360 = π·R²/6 = π·10²/6 = 100π/6 = 50π/3.
SΔ = (1/2)·R·R·sin(60°) = (1/2)·100·(√3)/2 = 25·√3,
S = (50π/3) - 25·√3,
5.
S = π·R₁² - π·R₂² = π·3,5² - π·1,5² = π·( (7/2)² - (3/2)²) = π·( (49 - 9)/4) = π·40/4 = 10π
6.
S = S(круга) - S(квадрата).
Найдем сторону квадрата по т. Пифагора.
R² + R² = a²,
R = 10,
a² = 2·R²
S(квадрата) = a² = 2R² = 2·10² = 200.
S(круга) = π·R² = π·10² = 100π,
S = 100π - 200.
7. Площадь сектора
S = π·R²·(360 - 60)/360 = π·R²·(300/360) = π·R²·5/6,
R = 8
S = π·8²·5/6 = π·64·5/6 = π·32·5/3 = 160π/3.
1) BC -?
2) (меньшая сторона) -?
1) AB/sin∠C =BC/sinA = AC/sin∠B = 2R (теорема синусов).
∠C =180° -(∠A +∠B )= 180° -(30° +105°) =45°.
16/sin45° =BC/sin30°⇒
BC =15*(sin30°/sin45°) =16*(1/2) / (1/√2) =(16√2)/2 =8√2≈11,28 (см).
---
2) меньшая сторона та, которая лежит против меньшего угла ,
эта сторона BC(лежит против меньшего угла ∠A=30°).
длину AC не требуется , но :
AC /sin∠B = AB/sin∠C ⇒AC =AB*sin(∠B)/(sin∠C)=
16* sin105°/(1/√2) =16√2sin105°=16√2*√2(√3 +1)/4 =8(√3 +1) .
sin105° =sin(180°-75°) =sin75°=sin(45°+30°) =...
или
sin105° =sin(60°+45°) =sin60°*cos45°+cos60°*sin45°=
(√3/2)*(√2/2)+(1/2)*(√2/2) =√2(√3 +1)/4.
* * * * * * * Второй
∠C =180° -(∠A+∠B) =180° -(30°+105°) =45°.
Проведем высоту BH⊥AC (∠AHB=90°) ⇒ Прямоугольный треугольник BHC равнобедренный CH =BH ,т.к. ∠C =45°.
По теореме Пифагора из ΔBHC:
BC =√ (BH² +CH²) =√(2BH²) =BH√2 . Но из ΔABH BH=AB/2 =8(как катет против угла
∠A =30°). Значит BC =BH√2 =8√2.