Теорема про три перпендикуляри. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.На малюнку 415 АН - перпендикуляр до площини α; АМ - похила. Через основу похилої - точку М проведено пряму а. Теорема про три перпендикуляри стверджує, що якщо а НМ, то а АМ, і навпаки, якщо а АМ, то а НМ.
Приклад 1. З вершини квадрата АВСD проведено перпендикуляр АК до площини квадрата. Знайти площу квадрата, якщо КD = 5 см; КС = 13 см.Розв’язання (мал. 416). 1) АК АВС; КD - похила; АDБ - її проекція. Оскільки АD DС, то за теоремою про три перпендикуляри маємо КD DС.3) Тоді площа квадрата S = 82 = 64 (см2).
Приклад 2. Сторони трикутника довжиною 4 см, 13 см і 15 см. Через вершину найбільшого кута до площини трикутника проведено перпендикуляр і з його кінця, що не належить трикутнику, проведено перпендикуляр завдовжки 4 см до протилежної сторони цього кута. Знайти довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника.Розв’язання. 1) У ∆АВС: АВ = 4 см; ВС = 13 см; АС = 15 см. Оскільки АС - найбільша сторона трикутника, то АВС - найбільший кут трикутника. ВК АВС (мал. 417).2) КМ АС, тоді за теоремою про три перпендикуляри: ВМ АС, тобто ВМ - висота ∆АВС. За умовою: КМ = 4см.3) Знайдемо площу трикутника АВС за формулою Герона.4) 3 іншого боку
Как показано на рисунке 611 — AF == AD = AD/2; BC == AF == FD = AD/2.
Теорема такова: если отрезок, проведённый из двух сторон — равен половине третьей стороны, то этот отрезок — средняя линия.
Как мы видим, на стороне AM, центр — B, на стороне AD, центр — F, а на стороне MD, центр — C. Тоесть отезок FC — проведён с центров двух сторон, тоесть — она средняя линия.
Отметим ещё то, что средняя линия параллельна своей противоположной стороне(факт), тоесть: BC║AD.
FC — также средняя линия, тоесть — она равна половине своей противоположной стороны, тоесть: AM = 10 ⇒ CF = 10/2 = 5.
Вывод: CF = 5.
1.
Теорема о 30-градусном угле такова: катет, противолежащий углу 30-градусов в прямоугольном треугольнике — равен половине гипотенузы.
Тоесть: BC = AB/2 ⇒ BC = 4.
Для вычисления площади прямоугольного треугольника — нам надо знать 2 катета(гипотенуза к чёрту не нужна).
А чтобы найти катет AC — зная первый катет, и гипотенузу — используем простейшую теорему Пифагора:
Формула вычисления площади прямоугольного треугольника:
Внимание! Эта формула работает только с прямоугольным треугольником, так как прямоугольный треугольник имеет один прямой угол.
Вычисление площади обычного произвольного треугольника — содержит альтернативную формулу!
2.
Так как один из острых углов равен 45°, то второй острый угол равен: 90-45 = 45° ⇒ <M == <N = 45° ⇒ KM == KN = 4.
Зная 2 катета — найдём гипотенузу NM:
Вывод: NM = 5.66.
3.
Формула вычисления боковой стороны, зная угол, противолежащий основанию, и основание: .
4.
Формула вычисления биссектрисы, проведённую через острый угол в прямоугольном треугольнике такова:
5.
Формула вычисления диагонали CD — зная 2 стороны:
Формула вычисления любой стороны прямоугольника, зная диагональ:
Приклад 1. З вершини квадрата АВСD проведено перпендикуляр АК до площини квадрата. Знайти площу квадрата, якщо КD = 5 см; КС = 13 см.Розв’язання (мал. 416). 1) АК АВС; КD - похила; АDБ - її проекція. Оскільки АD DС, то за теоремою про три перпендикуляри маємо КD DС.3) Тоді площа квадрата S = 82 = 64 (см2).
Приклад 2. Сторони трикутника довжиною 4 см, 13 см і 15 см. Через вершину найбільшого кута до площини трикутника проведено перпендикуляр і з його кінця, що не належить трикутнику, проведено перпендикуляр завдовжки 4 см до протилежної сторони цього кута. Знайти довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника.Розв’язання. 1) У ∆АВС: АВ = 4 см; ВС = 13 см; АС = 15 см. Оскільки АС - найбільша сторона трикутника, то АВС - найбільший кут трикутника. ВК АВС (мал. 417).2) КМ АС, тоді за теоремою про три перпендикуляри: ВМ АС, тобто ВМ - висота ∆АВС. За умовою: КМ = 4см.3) Знайдемо площу трикутника АВС за формулою Герона.4) 3 іншого боку
10.
Как показано на рисунке 611 — AF == AD = AD/2; BC == AF == FD = AD/2.
Теорема такова: если отрезок, проведённый из двух сторон — равен половине третьей стороны, то этот отрезок — средняя линия.
Как мы видим, на стороне AM, центр — B, на стороне AD, центр — F, а на стороне MD, центр — C. Тоесть отезок FC — проведён с центров двух сторон, тоесть — она средняя линия.
Отметим ещё то, что средняя линия параллельна своей противоположной стороне(факт), тоесть: BC║AD.
FC — также средняя линия, тоесть — она равна половине своей противоположной стороны, тоесть: AM = 10 ⇒ CF = 10/2 = 5.
Вывод: CF = 5.
1.
Теорема о 30-градусном угле такова: катет, противолежащий углу 30-градусов в прямоугольном треугольнике — равен половине гипотенузы.
Тоесть: BC = AB/2 ⇒ BC = 4.
Для вычисления площади прямоугольного треугольника — нам надо знать 2 катета(гипотенуза к чёрту не нужна).
А чтобы найти катет AC — зная первый катет, и гипотенузу — используем простейшую теорему Пифагора:
Формула вычисления площади прямоугольного треугольника:
Внимание! Эта формула работает только с прямоугольным треугольником, так как прямоугольный треугольник имеет один прямой угол.
Вычисление площади обычного произвольного треугольника — содержит альтернативную формулу!
2.
Так как один из острых углов равен 45°, то второй острый угол равен: 90-45 = 45° ⇒ <M == <N = 45° ⇒ KM == KN = 4.
Зная 2 катета — найдём гипотенузу NM:
Вывод: NM = 5.66.
3.
Формула вычисления боковой стороны, зная угол, противолежащий основанию, и основание: .
4.
Формула вычисления биссектрисы, проведённую через острый угол в прямоугольном треугольнике такова:
5.
Формула вычисления диагонали CD — зная 2 стороны:
Формула вычисления любой стороны прямоугольника, зная диагональ:
Формула вычисления площади прямоугольника: