Составьте уравнение плоскости, если она проходит: а) через точку М(3;0;0) и перпендикулярна оси абсцисс; б) через точку К(0;3;0) и перпендикулярна оси ординат; в) через точку Р(0;0;3) и перпендикулярна оси аппликат.
Хорошо, давайте начнем с построения уравнения плоскости, проходящей через точку М(3;0;0) и перпендикулярной оси абсцисс.
a) Чтобы составить уравнение такой плоскости, мы можем использовать следующую формулу:
\(Ax + By + Cz + D = 0\), где (A, B, C) - вектор нормали плоскости, а (x, y, z) - произвольная точка на плоскости, D - константа.
Мы знаем, что плоскость перпендикулярна оси абсцисс, поэтому она имеет нормальный вектор, направленный вдоль оси абсцисс (1; 0; 0). Кроме того, мы знаем, что она проходит через точку М(3; 0; 0).
Теперь мы можем подставить эти значения в формулу:
\(1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z + D = 0\)
\(x + D = 0\)
\(x = -D\)
Уравнение плоскости, проходящей через точку М(3;0;0) и перпендикулярной оси абсцисс, будет иметь вид \(x = -D\), где D - произвольная константа.
b) Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через точку К(0;3;0) и перпендикулярную оси ординат.
Аналогично предыдущему примеру, мы знаем, что плоскость имеет нормальный вектор, сонаправленный с осью ординат (0; 1; 0), и проходит через точку К(0; 3; 0).
Подставляя эти значения в формулу, получаем:
\(0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z + D = 0\)
\(y + D = 0\)
\(y = -D\)
Уравнение плоскости, проходящей через точку К(0;3;0) и перпендикулярной оси ординат, будет иметь вид \(y = -D\), где D - произвольная константа.
в) Наконец, рассмотрим плоскость, проходящую через точку Р(0;0;3) и перпендикулярную оси аппликат.
Еще раз, мы знаем, что плоскость имеет нормальный вектор, сонаправленный с осью аппликат (0; 0; 1), и проходит через точку Р(0; 0; 3).
Подставляем значения в формулу и получаем:
\(0 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot z + D = 0\)
\(z + D = 0\)
\(z = -D\)
Уравнение плоскости, проходящей через точку Р(0;0;3) и перпендикулярной оси аппликат, будет иметь вид \(z = -D\), где D - произвольная константа.
Таким образом, мы получили уравнения плоскостей для всех трех заданных случаев. Надеюсь, ответ был понятен. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.
a) Чтобы составить уравнение такой плоскости, мы можем использовать следующую формулу:
\(Ax + By + Cz + D = 0\), где (A, B, C) - вектор нормали плоскости, а (x, y, z) - произвольная точка на плоскости, D - константа.
Мы знаем, что плоскость перпендикулярна оси абсцисс, поэтому она имеет нормальный вектор, направленный вдоль оси абсцисс (1; 0; 0). Кроме того, мы знаем, что она проходит через точку М(3; 0; 0).
Теперь мы можем подставить эти значения в формулу:
\(1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z + D = 0\)
\(x + D = 0\)
\(x = -D\)
Уравнение плоскости, проходящей через точку М(3;0;0) и перпендикулярной оси абсцисс, будет иметь вид \(x = -D\), где D - произвольная константа.
b) Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через точку К(0;3;0) и перпендикулярную оси ординат.
Аналогично предыдущему примеру, мы знаем, что плоскость имеет нормальный вектор, сонаправленный с осью ординат (0; 1; 0), и проходит через точку К(0; 3; 0).
Подставляя эти значения в формулу, получаем:
\(0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z + D = 0\)
\(y + D = 0\)
\(y = -D\)
Уравнение плоскости, проходящей через точку К(0;3;0) и перпендикулярной оси ординат, будет иметь вид \(y = -D\), где D - произвольная константа.
в) Наконец, рассмотрим плоскость, проходящую через точку Р(0;0;3) и перпендикулярную оси аппликат.
Еще раз, мы знаем, что плоскость имеет нормальный вектор, сонаправленный с осью аппликат (0; 0; 1), и проходит через точку Р(0; 0; 3).
Подставляем значения в формулу и получаем:
\(0 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot z + D = 0\)
\(z + D = 0\)
\(z = -D\)
Уравнение плоскости, проходящей через точку Р(0;0;3) и перпендикулярной оси аппликат, будет иметь вид \(z = -D\), где D - произвольная константа.
Таким образом, мы получили уравнения плоскостей для всех трех заданных случаев. Надеюсь, ответ был понятен. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.