Октаэдр в задаче можно представить себе следующим образом. Пусть есть трехмерная система координат. На каждой из осей надо отложить от начала координат отрезки равной длины в обе стороны. Получится 6 точек, которые и будут вершинами октаэдра. К примеру, если вершины (0,0,a) (0,0,-a) (0,a,0) (0,-a,0) (a,0,0) (-a,0,0) то ребро равно c = a√2. Если очень хочется, можно найти, чему равно а при заданной длине ребра c = √6(√2 + 1). a = √3(√2 + 1); Но это не очень существенно. Легко видеть, что в каждой из плоскостей, содержащих две оси координат, лежат одинаковые квадраты со стороной c. Вот тут самая важная часть решения. "С точки зрения вписанного куба" сечения, проходящие через оси XOZ и YOZ - это прямоугольники сo сторонами b и b√2 где b - ребро куба. Эти сечения проходят через ребро куба, параллельное оси Z и диагонали горизонтальных граней. В сечении плоскостью XOY лежит квадрат со стороной b, НЕ касающийся квадрата со стороной c (октаэдра). То есть получается такая задача для нахождения b (при заданном c) "В квадрат со стороной c = √6(√2 + 1) вписан прямоугольник со сторонами b и b√2, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. Надо найти b^2". Очевидно, что c = (b/2)*√2 + (b√2/2)*√2 = (b√2/2)(√2 + 1); Отсюда b = 2√3; b^2 = 12;
Сделаем рисунок. Обозначим точку пересечения окружности со стороной АВ буквой К, а со стороной АД - буквое Е. Соединим эти точки. Вписанный угол КАЕ - прямой, ⇒ КЕ- диаметр окружности. Проведем через N и центр окружности О прямую HN. Она параллельна АD, т.к. ОN - радиус, проведенный в точку касания и перпендикулярен стороне СD. Соединим О и А радиусом ОА. АН=ND =7 как стороны прямоугольника АНND. ОН=ВМ=24, т.к. ОМ⊥ ВС как радиус, проведенный в точку касания к ВС. Из прямоугольного треугольника АОН найдем гипотенузу АО, которая является радиусом окружности: АО²=ОН²+АН²= 576+49=625 АО=√625=25 ОN=r=АO=25 MC=ON=25 ВС=ВМ+МС=24+25=49 СD=CN+ND=25+7=32 S (ABCD)=BC*CD=49*32=1568 ( ед. площади) ------ [email protected]
Пусть есть трехмерная система координат. На каждой из осей надо отложить от начала координат отрезки равной длины в обе стороны. Получится 6 точек, которые и будут вершинами октаэдра.
К примеру, если вершины (0,0,a) (0,0,-a) (0,a,0) (0,-a,0) (a,0,0) (-a,0,0)
то ребро равно c = a√2. Если очень хочется, можно найти, чему равно а при заданной длине ребра c = √6(√2 + 1). a = √3(√2 + 1); Но это не очень существенно.
Легко видеть, что в каждой из плоскостей, содержащих две оси координат, лежат одинаковые квадраты со стороной c.
Вот тут самая важная часть решения.
"С точки зрения вписанного куба" сечения, проходящие через оси XOZ и YOZ - это прямоугольники сo сторонами b и b√2 где b - ребро куба.
Эти сечения проходят через ребро куба, параллельное оси Z и диагонали горизонтальных граней.
В сечении плоскостью XOY лежит квадрат со стороной b, НЕ касающийся квадрата со стороной c (октаэдра).
То есть получается такая задача для нахождения b (при заданном c)
"В квадрат со стороной c = √6(√2 + 1) вписан прямоугольник со сторонами b и b√2, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. Надо найти b^2".
Очевидно, что c = (b/2)*√2 + (b√2/2)*√2 = (b√2/2)(√2 + 1);
Отсюда b = 2√3; b^2 = 12;
Обозначим точку пересечения окружности со стороной АВ буквой К, а со стороной АД - буквое Е.
Соединим эти точки.
Вписанный угол КАЕ - прямой, ⇒ КЕ- диаметр окружности.
Проведем через N и центр окружности О прямую HN. Она параллельна АD, т.к. ОN - радиус, проведенный в точку касания и перпендикулярен стороне СD. Соединим О и А радиусом ОА.
АН=ND =7 как стороны прямоугольника АНND.
ОН=ВМ=24, т.к. ОМ⊥ ВС как радиус, проведенный в точку касания к ВС.
Из прямоугольного треугольника АОН найдем гипотенузу АО, которая является радиусом окружности:
АО²=ОН²+АН²= 576+49=625
АО=√625=25
ОN=r=АO=25
MC=ON=25
ВС=ВМ+МС=24+25=49
СD=CN+ND=25+7=32
S (ABCD)=BC*CD=49*32=1568 ( ед. площади)
------
[email protected]