Условие перпендикулярности векторов Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов: (m,a)=Xm*Xa+Ym*Ya+Zm*Za (1). В нашем случае координаты вектора а={2;1;1}, координаты вектора b={1;1;2} и тогда:(m,a)=Xm*2+Ym*1+Zm*1 =0. Аналогично (m,b)=Xm*1+Ym*1+Zm*2 =0 (2). Единичный вектор имеет длину (модуль) равную 1, то есть |m| = √(Xm²+Ym²+Zm²)=1. Возведем в квадрат: Xm²+Ym²+Zm²)=1 (3). Из (2) вычтем (1): Xm-Zm=0 или Xm=Zm, тогда Ym= -3Xm. Подставим эти значения в (3): Xm²+9Xm²+Xm²)=1 => Xm=Zm=1/√11, Ym=-3/√11. Итак, искомый единичный вектор m = {1/√11;-3/√11;1/√11}. Но есть и противоположно направленный ему вектор -m, который также перпендикулярен векторам а и b. Противоположно направленные вектора, это вектора, координаты которых пропорциональны и коэффициент пропорциональности ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ. Коэффициент пропорциональности равен -1. Значит вектор -m = {-1/11;3/11;-1/11}.
Второй вариант: Векторное произведение векторов a и b по определению - вектор, перпендикулярно направленный плоскости параллелограмма, образованного векторами а и b. Находим вектор по формуле: | i j k | (a*b)= |2 1 1 | = i (aybz - azby) - j (axbz - azbx) + k (axby - aybx) или |1 1 2 | (a*b)= i(2-1)-j(4-1)+k(2-1) = i -3j +k. то есть мы получили вектор (a*b) с координатами (a*b)={1;-3;1}. Модуль (длина) этого вектора равна |a*b| = √(1+9+1) =√11. Мы знаем, что единичный вектор - это вектор, коллинеарный данному, но имеющий модуль, равный 1. То есть каждую координату необходимо разделить на модуль вектора |a*b|. Это вектор m={1/√11; -3/√11; 1/√11} и противоположный ему вектор -m={-1/√11; 3/√11; -1/√11}.
Длина дуги окружности вычисляется по формуле: L = pi*R*альфа / 180 если рассмотреть отношение длин двух дуг, то получим отношение величин углов L1 / L2 = (pi*R*альфа1 / 180) / (pi*R*альфа2 / 180) = альфа1 / альфа2 и это отношение = 2/1 т.е. окружность разбивается на 3 части... 360/3 = 120 один угол = 120 градусов, второй угол = 240 градусов градусная мера дуги = величине центрального угла... получили равнобедренный треугольник с боковой стороной = R и углом при вершине = 120 градусов, хорда в этом треугольнике будет основанием... по определению синуса sin(60) = V3/2 = x / (2R) x = RV3 --- длина хорды...
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение векторов: (m,a)=Xm*Xa+Ym*Ya+Zm*Za (1).
В нашем случае координаты вектора а={2;1;1}, координаты вектора
b={1;1;2} и тогда:(m,a)=Xm*2+Ym*1+Zm*1 =0. Аналогично
(m,b)=Xm*1+Ym*1+Zm*2 =0 (2).
Единичный вектор имеет длину (модуль) равную 1, то есть
|m| = √(Xm²+Ym²+Zm²)=1. Возведем в квадрат:
Xm²+Ym²+Zm²)=1 (3).
Из (2) вычтем (1): Xm-Zm=0 или Xm=Zm, тогда Ym= -3Xm.
Подставим эти значения в (3): Xm²+9Xm²+Xm²)=1 => Xm=Zm=1/√11, Ym=-3/√11.
Итак, искомый единичный вектор m = {1/√11;-3/√11;1/√11}. Но есть и противоположно направленный ему вектор -m, который также перпендикулярен векторам а и b. Противоположно направленные вектора, это вектора, координаты которых пропорциональны и коэффициент пропорциональности ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ.
Коэффициент пропорциональности равен -1.
Значит вектор -m = {-1/11;3/11;-1/11}.
Второй вариант:
Векторное произведение векторов a и b по определению - вектор, перпендикулярно направленный плоскости параллелограмма, образованного векторами а и b. Находим вектор по формуле:
| i j k |
(a*b)= |2 1 1 | = i (aybz - azby) - j (axbz - azbx) + k (axby - aybx) или
|1 1 2 |
(a*b)= i(2-1)-j(4-1)+k(2-1) = i -3j +k. то есть мы получили вектор (a*b) с координатами (a*b)={1;-3;1}.
Модуль (длина) этого вектора равна |a*b| = √(1+9+1) =√11.
Мы знаем, что единичный вектор - это вектор, коллинеарный данному, но имеющий модуль, равный 1. То есть каждую координату необходимо разделить на модуль вектора |a*b|. Это вектор
m={1/√11; -3/√11; 1/√11} и противоположный ему вектор
-m={-1/√11; 3/√11; -1/√11}.
L = pi*R*альфа / 180
если рассмотреть отношение длин двух дуг,
то получим отношение величин углов
L1 / L2 = (pi*R*альфа1 / 180) / (pi*R*альфа2 / 180) = альфа1 / альфа2
и это отношение = 2/1
т.е. окружность разбивается на 3 части... 360/3 = 120
один угол = 120 градусов, второй угол = 240 градусов
градусная мера дуги = величине центрального угла...
получили равнобедренный треугольник с боковой стороной = R и углом при вершине = 120 градусов, хорда в этом треугольнике будет основанием...
по определению синуса sin(60) = V3/2 = x / (2R)
x = RV3 --- длина хорды...