сторона AB остроугольного треугольника ABC равна 8 см радиус окружности описанной около треугольника ABC равна 4 корня из 2 Определите градусную меру угла ACВ​

Достроим ее до полной пирамиды.
Тогда высота H падает точно в центр правильного треугольника основания, то есть в точку О, которая делит высоту основания 1:2.
Высота нижнего основания AK = AB*√3/2 = a√3/2, AO = 2/3*AK = a√3/3.
Этот отрезок AO, высота DO = H и боковое ребро AD образуют прямоугольный треугольник с катетом AO = a√3/3 и углом α (альфа).
tg α = DO / AO;
DO = AO*tg α = a√3/3*tg α.
Площадь нижнего основания
S(ABC) = a^2*√3/4
Объем большой пирамиды
V1 = 1/3*S(ABC)*DO = 1/3*a^2*√3/4*a√3/3*tg α = 1/12*a^3*tg α
Высота отрезанного куска
DO1 = A1O1*tg α = b√3/3*tg α
Площадь верхнего основания
S(A1B1C1) = b^2*√3/4
Объем отрезанного куска
V2 = 1/3*S(A1B1C1)*DO1 = 1/12*b^3*tg α
Объем усеченной пирамиды
V = V1 - V2 = 1/12*tg α*(a^3 - b^3)

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле: 
У треугольника, радиус которого в 2 раза больше, стороны тоже в 2 раза больше, что следует из вышеприведенной формулы:

Подобие треугольников, на которые высота из прямого угла делит прямоугольный треугольник, вытекает из равенства взаимно перпендикулярных углов этих треугольников.
Примем стороны треугольников, лежащих против прямых углов, равными х и 2х. Тогда гипотенуза заданного треугольника будет равна:

Так как радиусы пропорциональны сторонам, то радиус заданного треугольника в  раз больше радиуса, равного 2.
ответ: радиус окружности, вписанной в данный треугольник, равен   ≈  4,472136.