Сторона
B
C
параллелограмма
A
B
C
D
вдвое больше стороны
A
B
. Точка
K
- середина стороны
B
C
. Докажите, что
A
K
- биссектриса угла
B
A
D
.
A
F
D
B
C
K
Отметьте все утверждения, составляющие ход доказательства или этапы решения:
Проведем прямую
K
F
параллельно стороне
A
B
.
Так как
B
K
=
K
C
=
A
B
, то параллелограмм
A
B
K
F
является квадратом.
Так как
B
K
=
K
C
=
A
B
, то параллелограмм
A
B
K
F
является ромбом.
Диагональ квадрата делит угол пополам, поэтому
A
K
- биссектриса угла
B
A
D
.
Диагональ ромба делит угол пополам, поэтому
A
K
- биссектриса угла
B
A
D
.
для x:
(x²-2•2x1 + 2²) -1•2² = (x-2)²-4
для y:
2(y²+2•5/2y + (5/2)²) -2•(5/2)² = 2(y+5/2)²-(25/2)
В итоге получаем:
(x-2)²+2(y+5/2)² = 55/2
Разделим все выражение на 55/2
(2/55)*(x-2)²+(4/55)*(y+(5/2))² = 1. Это уравнение эллипса.
Полуоси эллипса: а=√(55/2), в = √55/2.
Данное уравнение определяет эллипс с центром в точке:
C(2; -5/2)
Найдем координаты фокусов F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами
Итак, фокусы эллипса:F1((-1/2)*√55;0),
F2((1/2)*√55;0).
С учетом центра, координаты фокусов равны:
F1((-1/2)*√55+2;(-5/2)),
F2((1/2)*√55+2;(5/2)).
Тогда эксцентриситет будет равен:≈ 0,71.
Сторона АВ = (1/2)/cos 80° = (1/2)/ 0,173648 = 2,879385.
ВД = АВ - 1 = 2,879385 - 1 = 1,879385.
По теореме косинусов находим сторону СД треугольника ВСД.
Угол В = 180° - 2*80° = 180°-160° = 20°.
СД = √(1²+2,879385-2*1*2,879385*сos20°) = 1,9696155.
Определяем углы треугольника ВСД по теореме синусов.
sin ВСД / ВД = sin20°/ СД,
sin ВСД = sin20°*1/1,9696155 = 0.1736482
Угол ВСД = 0.1745329 радиан или 10 градусов.
Угол ВДС = 180° - 20° - 10° = 150°.
Переходим к треугольнику АДС.
Угол А по заданию равен 80°.
Угол ДСА = 80°-10° = 70°.
Угол АДС = 180° - 150° = 30°.