Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида SAВСД. Точка О - центр основания (точка пересечения диагоналей). Через диагональ АС проведём секущую плоскость, перпендикулярную к ребру SВ. Получим равнобедренный треугольник АКС с углом АКС = 120°. Точка К лежит на боковом ребре SВ. Диагональ АС = 2√2 дм. Высота КО лежит против угла в 30°. КО = (2√2/2)*tg30° = √2*(1/√3) = √2/√3 = √(2/3) дм. Отрезок КО является высотой в треугольнике SОВ на боковое ребро SВ из вершины О прямого угла SОВ. Отрезок ВК = √(ОВ²-ОК²) = √(√2)²-(√(2/3))²) = √(2-(2/3)) = = √((6-2)/3) = √(4/3) = 2/√3 дм. Боковое ребро SВ находим из пропорции ВК/ВО = ВО/SВ. (катет и гипотенуза подобных треугольников). SВ = ВО²/ВК = 2/(2/√3) = √3 дм. Находим апофему А боковой грани: А = √((√3)²-(2/2)²) = √(3-1) = √2 дм. Периметр основания Р = 4*2 = 8 дм. Sбок = (1/2)*Р*А = (1/2)*8*√2 = 4√2 дм². So = 2² = 4 дм². S = Sбок + Sо = 4√2 + 4 = 4(1+√2) дм².
Точка О - центр основания (точка пересечения диагоналей).
Через диагональ АС проведём секущую плоскость, перпендикулярную к ребру SВ.
Получим равнобедренный треугольник АКС с углом АКС = 120°. Точка К лежит на боковом ребре SВ.
Диагональ АС = 2√2 дм. Высота КО лежит против угла в 30°.
КО = (2√2/2)*tg30° = √2*(1/√3) = √2/√3 = √(2/3) дм.
Отрезок КО является высотой в треугольнике SОВ на боковое ребро SВ из вершины О прямого угла SОВ.
Отрезок ВК = √(ОВ²-ОК²) = √(√2)²-(√(2/3))²) = √(2-(2/3)) =
= √((6-2)/3) = √(4/3) = 2/√3 дм.
Боковое ребро SВ находим из пропорции ВК/ВО = ВО/SВ.
(катет и гипотенуза подобных треугольников).
SВ = ВО²/ВК = 2/(2/√3) = √3 дм.
Находим апофему А боковой грани:
А = √((√3)²-(2/2)²) = √(3-1) = √2 дм.
Периметр основания Р = 4*2 = 8 дм.
Sбок = (1/2)*Р*А = (1/2)*8*√2 = 4√2 дм².
So = 2² = 4 дм².
S = Sбок + Sо = 4√2 + 4 = 4(1+√2) дм².