Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна боковому ребру, а площадь сечения, проходящего через сторону основания перпендикулярна противоположному ребру равна 9√2. вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

Показать ответ

Ответ:

marusy552

09.06.2020 10:25

Примем длины рёбер за 1.
Ромб с острым углом 60 градусов имеет меньшую диагональ, равную стороне. Половина такого ромба - равносторонний треугольник.
Опустим из точек В и Д перпендикуляры на боковое ребро.
Они пересекутся в точке К.
Треугольник ВКД - равнобедренный. В основании - диагональ ВД = 1.
КВ = КД = 1*cos 30° = √3/2.
Искомый угол ВКД равен :
∠BKD = 2arcsin((1/2)/(√3/2) = 2arcsin( 1/√3) = 2arcsin(√3/3) = 70,52878°.

Тангенс половины угла BKD = α равен:
tg(α/2) = (1/2)/(√((√3/2)² - (1/2)²) = (1/2)/√(2/4) = √2/2.
Тангенс искомого угла равен:
tgα = 2*tg(α/2)/(1 - tg²(α/2)) = 2*(√2/2)/(1 - (2/4)) = 2√2.
Его квадрат равен 8.

0,0(0 оценок)

Ответ:

dimkach2014

08.04.2022 05:45

Для наглядности привожу рисунок треугольной пирамиды, хотя она может быть какой угодно.

Пирамида SABC; высота SO⊥(ABC);  (KMN)║(ABC); SF:FO = 3:8
$S_{KMN}=27$ дм²
$\frac{SF}{FO} = \frac{3}{8}$    $FO= \frac{8}{3} SF$
SO = SF + FO = SF + $\frac{8}{3} SF = \frac{11}{3} SF$

ΔSFM прямоугольный ∠SFM = 90°
ΔSOB прямоугольный  ∠SOB = 90°
ΔSFM ~ ΔSOB по общему острому ∠FSM  ⇒
$\frac{SB}{SM} = \frac{SO}{SF} = \frac{ \frac{11}{3} SF}{SF} = \frac{11}{3}$

NM║CB  ⇒ ∠SNM = ∠SCB; ∠SMN = ∠SBC как соответственные углы ⇒
ΔSCB ~ ΔSNM по двум равным углам ⇒
$\frac{CB}{NM} = \frac{SB}{SM} = \frac{11}{3}$ ⇒
Т.к. фигура в сечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию, подобна основанию, то ΔABC ~ ΔKMN с коэффициентом подобия
k = $\frac{11}{3}$
Площади подобных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате
$\frac{S_{ABC}}{S_{KMN}} =k^2=( \frac{11}{3} )^2= \frac{121}{9} \\ \\ S_{ABC}= \frac{121}{9} S_{KMN}= \frac{121}{9} *27=363$

ответ: площадь основания 363 дм³
Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, которая делит высоту пирамиды в отношении 3: