Сторона основания правильной треугольной пирамиды SABC имеет длину 7√3.Высота пирамиды равна 7. На стороне основания АC выбрана точка M такая что AM:MC=5:2.Найдите площадь сечения пирамиды проходящая через точку M перпендикулярно АС.(ответ равен 12)

Показать ответ

Ответ:

SmartJager

02.08.2021 20:49

(см. объяснение)

Объяснение:

Поскольку пирамида правильная, то BH - медиана, биссектриса и высота треугольника ABC, то есть верно, что $BH\perp AC$ . Проведем прямую ME||BH . Тогда $ME\perp AC$ . Пусть CP другая медиана треугольника ABC. Пусть медианы этого треугольника пересекаются в точке O. Тогда из-за того, что пирамида правильная, SO - это ее высота, т.е. $SO\perp(ABC)$ , а значит и любой прямой в этой плоскости. Пусть $ME\cap CP=J$ . Проведем через точку J прямую параллельную SO, которая пересечет SC в точке I. Тогда $IJ\perp(ABC)$ , а значит и любой прямой в этой плоскости. Соединим точки M, I и E. Получим плоскость (MIE) . Покажем, что $AC\perp(MIE)$ . $AC\perp ME$ и $AC\perp IJ$ , и $ME\cap IJ=J$ . Тогда задача сводится к нахождению площади треугольника MIE . Будем искать ее, как $S=\dfrac{1}{2}ME\times IJ$ . Из подобия треугольников следует, что $ME=\dfrac{4BH}{7},\;=\;ME=6$ . Из подобия треугольников $IJ=\dfrac{4SO}{7},\;=\;IJ=4$ . Подставив найденное в формулу выше, получим $S=\dfrac{1}{2}\times 6\times 4=12$ . Таким нами образом было получено, что искомая площадь равна .