Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а диагональ боковой грани равна √5. Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы

1) 90°-45°=45°, следовательно треугольник АКВ-равнобедренный.

АВ=ВК=10 см;

ВС=10+5=15 см

периметр 10+10+5+5=50 см

2) Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180º.

пусть ∠В=х°. тогда ∠С=50+х

х+х+50=180

2х=130

х=65° (∠В)

∠С=65+50=115°

Углы параллелограмма 115°, 115°, 65°, 65°.

3) Диагональ ромба делит угол пополам

120°:2=60°

Меньшая диагональ ромба образовывает два равных равносторонних треугольника, с углами 60°.

Стороны ромба равны, то есть 4 см.

Если треугольники равны, то и меньшая диагональ тоже 4 см.

ответ меньшая диагональ ромба 4 см

    Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетом 5 см и гипотенузой 13 см. Все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 45°.  Найдите высоту пирамиды.

ответ: 2 см

Объяснение.

   Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания,  то высота проходит через центр вписанного в основание пирамиды круга. (теорема).  

    Боковые грани образуют с основанием двугранные углы, величина  которых по условию 45°.Сторонами  их линейных углов  являются высоты боковых граней и радиусы вписанной окружности, которые являются проекцией этих высот на основание и по т. о 3-х перпендикулярах перпендикулярны сторонам треугольника  в одной точке ( см. рисунок приложения.).  Высота пирамиды МО, радиус вписанной окружности  ОН и высота МН боковой грани образуют прямоугольный треугольник МОН. Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен 45°, то второй тоже 45° =>

∆ МОН - равнобедренный и МО=ОН=r .

     Формула радиуса окружности,  вписанной в прямоугольный треугольник, r=(a+b-c):2, где а и b - катеты, с - гипотенуза.  

     Стороны треугольника с гипотенузой 13 и катетом 5 из Пифагоровых троек с отношением сторон 5:12:13. Второй катет АС=12 ( проверьте по т.Пифагора). =>

ОН=r=(5+12-13):2= 2 см.

МО=ОН=2 см ( высота пирамиды)