Сторона правильного трикутника вписаного в коло дорівнює 5 корінь із трьох сантиметрів знайти сторону правильного шестикутника описаного навколо цього кола​

Если провести медиану m к стороне c, а потом продлить её на свою длину и конец соединить с концами стороны c, то получится параллелограмм со сторонами a и b, и диагоналями с и 2*m.
Для исходного треугольника теорема косинусов 
c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(C);
Для треугольника со сторонами a, b, 2*m, на который делит построенный параллелограмм удвоенная медиана, 
(2*m)^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(180° - C) = a^2 + b^2 + 2*a*b*cos(C);
если сложить эти равенства, получится известное соотношение для параллелограмма
(2*m)^2 + c^2 = 2*(a^2 + b^2); (сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов сторон)
отсюда легко найти медиану исходного треугольника
m^2 = (a^2 + b^2)/2 - c^2/4;
само собой, остальные медианы находятся просто заменой обозначений.

Площадь треугольника можно найти как половину произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне))) сторона треугольника дана, осталось найти высоту (ВН)...
построив данные расстояния в 16 (МА) и 25 (КС) см
(а это перпендикуляры к касательной))), мы получим трапецию АМКС...
рассмотрев получившиеся прямоугольные треугольники, можно заметить, что среди них есть подобные))) 
т.к. угол между касательной и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между сторонами этого угла, получим: 
угол МВА = 0.5*(дугу АВ) 
и про вписанный в окружность угол известно, что он равен половине дуги, на которую он опирается, ---> МВА = ВСА (углы равны)
аналогично рассуждая, получим: КВС = ВАС (углы равны) 
---> треугольники МВА и НВС подобны ((как прямоугольные с равными острыми углами))), аналогично, подобны треугольники КВС и АВН...
из подобия можно записать: МА / ВН = АВ / ВС и из второго подобия: 
КС / ВН = ВС / АВ
получим: МА / ВН = ВН / КС 
ВН*ВН = МА*КС = 25*16
ВН = 5*4 = 20
S(ABC) = BH*AC/2 = 20*20/2 = 200