Ага, Пифагорова тройка (20, 21, 29). Проверьте сами - сумма квадратов первых 2 равна квадрату третьего.
Итак, в основании пирамиды прямоугольный треугольник с площадью
Sosn =20*21/2 = 210,
и грани пирамиды имеют одинаковый наклон.
Смотрите, чтобы много не считать. Вершина пирамиды проектируется в центр ВПИСАННОЙ окружности. Потому что при равном наклоне граней все апофемы равны (они равны h = H/sin(Ф), Н - высота пирамиды, Ф - двугранный угол между гранью и основанием). Вершина пирамиды равноудалена от сторон основания, значит, И ЕЁ проекция на основание будет равноудалена от сторон основания. То есть - это центр вписанной окружности.
Проекцией апофемы является радиус вписанной окружности r.
Причем апофема (любая) h = r/cos(Ф); Боковая поверхность при одинаковых апофемах вычисляется так
Sb = (1/2)*Р*h;
где Р - периметр основания (это просто сумма площадей всех треугольников-боковых граней),
Sb = (1/2)*P*r/cos(Ф) = Sosn/cos(Ф); Эта формула крайне полезная, но я не уверен, что программе она есть, поэтому просто её вывел по ходу решения.
Итак,
H = r*tg(Ф), в нашем случае H = r; r = (a + b - c)/2 = 6; (могу объяснить, как эта формула получается, если надо, это в прямоугольном треугольнике работает. Но можно и так сосчитать, r = 2*S/P = 420/(20+21+29) = 6;)
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ . Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказательство: Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) . Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках: АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁. Сравним полученную пропорцию с данной в условии: АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ Значит, АВ₂ = АВ. Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию). Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказано.
Ага, Пифагорова тройка (20, 21, 29). Проверьте сами - сумма квадратов первых 2 равна квадрату третьего.
Итак, в основании пирамиды прямоугольный треугольник с площадью
Sosn =20*21/2 = 210,
и грани пирамиды имеют одинаковый наклон.
Смотрите, чтобы много не считать. Вершина пирамиды проектируется в центр ВПИСАННОЙ окружности. Потому что при равном наклоне граней все апофемы равны (они равны h = H/sin(Ф), Н - высота пирамиды, Ф - двугранный угол между гранью и основанием). Вершина пирамиды равноудалена от сторон основания, значит, И ЕЁ проекция на основание будет равноудалена от сторон основания. То есть - это центр вписанной окружности.
Проекцией апофемы является радиус вписанной окружности r.
Причем апофема (любая) h = r/cos(Ф); Боковая поверхность при одинаковых апофемах вычисляется так
Sb = (1/2)*Р*h;
где Р - периметр основания (это просто сумма площадей всех треугольников-боковых граней),
Sb = (1/2)*P*r/cos(Ф) = Sosn/cos(Ф); Эта формула крайне полезная, но я не уверен, что программе она есть, поэтому просто её вывел по ходу решения.
Итак,
H = r*tg(Ф), в нашем случае H = r; r = (a + b - c)/2 = 6; (могу объяснить, как эта формула получается, если надо, это в прямоугольном треугольнике работает. Но можно и так сосчитать, r = 2*S/P = 420/(20+21+29) = 6;)
H = 6; это высота пирамиды
Sosn = 210;
Sb = 210/(корень(2)/2) = 210*корень(2);
Полная поверхность 210*(1 + корень(2));
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.