Сторона трикутника більша за медіану, проведену - вопрос №42923801 от leedercools 02.02.2023 00:39

Question

Геометрия: Сторона трикутника більша за медіану, проведену до неї, на 4 см, а дві інші сторони дорівнюють 28 см і 36 см. обчисліть периметр трикутника.

leedercools · Answer

Пусть медиана равна Хсм, тогда АС = (Х+4)см.
По теореме косинусов:
1) AB² = Х² +[(Х+4)/2]² - 2Х*[(Х+4)/2]*Соsα
2) BC² = Х² +[(Х+4)/2]² - 2Х*[(Х+4)/2]*Соs(180-α).
Но Cos(180-α) = - Соsα. Тогда 2) BC² = Х² +[(Х+4)/2]² + 2Х*[(Х+4)/2]*Соsα.
Сложим уравнения 1 и 2: AB²+ВС²= 2Х² +2[(Х+4)/2]² или 784+1296= 2Х² + (Х²+8х+16)/2. Имеем квадратное уравнение: 4160 = 4Х²+Х²+ 8Х +16 или 5Х² + 8Х - 4144 =0.
Решаем это уравнение и получаем: Х1,2 = [-4±√(16+20720)]/5.
Х = (-4+√20736)/5 = 28см. Второй корень отрицательный - не удовлетворяет условию.
Итак, третья сторона треугольника равна 28+4=32см.
Периметр треугольника равен 28+36+32 = 100см.
ответ: периметр треугольника равен 100см.
Решение в приложенном рисунке.