А) Пусть АН - высота треугольника, она же ось симметрии. Так как вершина А лежит на оси симметрии, она отобразится в себя (т.е. точка А' совпадет с А). Чтобы отобразить точку В относительно оси АН, надо построить из точки В луч, перпендикулярный АН, а это и есть прямая ВС. Затем на луче ВН откладываем отрезок НВ', равный ВН, по другую сторону от точки Н. На луче СН по другую сторону от точки Н откладываем отрезок НС', равный СН. ΔA'B'C' - искомый.
б) Пусть D - середина АВ. Проводим луч CD, на котором откладываем отрезок CA' = CD. На луче AD откладываем отрезок DA' = AD. Так как D - середина АВ, точка A' совпадет с точкой В. На луче BD откладываем отрезок DB' = BD. Так как D - середина АВ, точка В' совпадет с точкой А. ΔA'B'C' - искомый.
в) М - точка пересечения медиан треугольника АВС. Из вершин А, В и С проводим лучи, параллельные АМ. На них откладываем отрезки AA', BB' и CC', равные длине отрезка АМ. При этом точка А' совпадет с точкой М. ΔA'B'C' - искомый.
г) Так как С - центр поворота, то точка С отобразится на себя. Строим окружность с центром в точке С и радиусом ВС. Строим угол, равный 45° с вершиной в точке С и стороной ВС (против часовой стрелки). Точка пересечения окружности и второй стороны угла - точка В'. Строим окружность с центром в точке С и радиусом АС. Строим угол, равный 45° с вершиной в точке С и стороной АС (против часовой стрелки). Точка пересечения окружности и второй стороны угла - точка А'. ΔA'B'C' - искомый.
Решение удалось найти только для частного случая, когда четырёхугольник - это трапеция (а вписанная - только равнобедренная). Примем основания трапеции равными заданным длинам сторон АВ=10 СД=13. Высота трапеции равна: h = ((СД - АВ)/2)/tg15° = ((13 - 10)/2 )/(2-√3) = 1,5/0,267949 = 5.598076. Боковая сторона равна а = √(((13-10)/2)²+h²) = = √(1,5²+5.598076²) = √(2,25+31.33846) = √33.58846 = 5.795555. Диагональ трапеции равна d = √((13/2)+(10/2))²+h²) = = √(11,5²+5.598076²) = √ 163.5885 = 12.79017.
Радиус окружности, описанной около трапеции, равен радиусу окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными нижнему основанию трапеции, её боковой стороне и диагонали. R = adc/(4√(p(p-a)(p-d)(p-c)). Полупериметр р = (a+d+c)/2 = 15,694123. Тогда радиус равен R = 6.6092285.
Так как вершина А лежит на оси симметрии, она отобразится в себя (т.е. точка А' совпадет с А).
Чтобы отобразить точку В относительно оси АН, надо построить из точки В луч, перпендикулярный АН, а это и есть прямая ВС.
Затем на луче ВН откладываем отрезок НВ', равный ВН, по другую сторону от точки Н.
На луче СН по другую сторону от точки Н откладываем отрезок НС', равный СН.
ΔA'B'C' - искомый.
б) Пусть D - середина АВ.
Проводим луч CD, на котором откладываем отрезок CA' = CD.
На луче AD откладываем отрезок DA' = AD. Так как D - середина АВ, точка A' совпадет с точкой В.
На луче BD откладываем отрезок DB' = BD. Так как D - середина АВ, точка В' совпадет с точкой А.
ΔA'B'C' - искомый.
в) М - точка пересечения медиан треугольника АВС.
Из вершин А, В и С проводим лучи, параллельные АМ. На них откладываем отрезки AA', BB' и CC', равные длине отрезка АМ.
При этом точка А' совпадет с точкой М.
ΔA'B'C' - искомый.
г) Так как С - центр поворота, то точка С отобразится на себя.
Строим окружность с центром в точке С и радиусом ВС.
Строим угол, равный 45° с вершиной в точке С и стороной ВС (против часовой стрелки). Точка пересечения окружности и второй стороны угла - точка В'.
Строим окружность с центром в точке С и радиусом АС.
Строим угол, равный 45° с вершиной в точке С и стороной АС (против часовой стрелки). Точка пересечения окружности и второй стороны угла - точка А'.
ΔA'B'C' - искомый.
Примем основания трапеции равными заданным длинам сторон
АВ=10 СД=13.
Высота трапеции равна:
h = ((СД - АВ)/2)/tg15° = ((13 - 10)/2 )/(2-√3) = 1,5/0,267949 = 5.598076.
Боковая сторона равна а = √(((13-10)/2)²+h²) =
= √(1,5²+5.598076²) = √(2,25+31.33846) = √33.58846 = 5.795555.
Диагональ трапеции равна d = √((13/2)+(10/2))²+h²) =
= √(11,5²+5.598076²) = √ 163.5885 = 12.79017.
Радиус окружности, описанной около трапеции, равен радиусу окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными нижнему основанию трапеции, её боковой стороне и диагонали.
R = adc/(4√(p(p-a)(p-d)(p-c)).
Полупериметр р = (a+d+c)/2 = 15,694123.
Тогда радиус равен R = 6.6092285.