Сторони паралелограма дорівнюють 5 см і 22 см, а один з кутів дорівнює 45 градусів. Знайдіть меншу діагональ паралелограма.

Дано:

ABCD - прямоугольник.

АС и DB - диагонали.

Е - точка пересечения диагоналей.

∠DBC = 65°.

Найти:

∠BEC = ?

1. Диагонали прямоугольника равны, а также, по свойству параллелограмма, точкой пересечения делятся пополам. Соответственно, EB = DE = AE = EC.

2. Рассмотрим треугольник ВЕС. Так как EB = EС (по выше доказанному), то он равнобедренный. Тогда ∠EBC = ∠ECB = 65° (по свойству равнобедренного треугольника). По теореме о сумме углов треугольника, имеем, что - ∠BEC = 180°-(65°+65°) = 50°.

(Хочу подметить, что ∠DEC тоже находится между диагоналями, но так как он смежный вместе с углом в 50° (острым), то он тупой. А по условию нам нужен не тупой, а острый.)

ответ: 50°.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = АС•√2, BC = 6. Найдите высоту CН.
По т.Пифагора АВ²=АС²+ВС²
АВ²-АС²=ВС²
Примем АС=а. Тогда гипотенуза АВ=а√2. 
2а²-а²=36⇒
а=√36=6 
a√2=6√2
АС=ВС - треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой. 
В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота из прямого угла=0,5 гипотенузы ( по свойству медианы из прямого угла). 
СН =(6√2):2=3√2

Иногда эту высоту требуется записать в ответе как √2CH. Тогда, так как √2•3•√2=6, в ответе пишется 6.