Сторони трикутника АВС а = 6 м, b = 8 м, c = 10 м. Знайдіть відношення відрізків на трьох бісектрисах, які утворюються точкою перетину бісектрис трикутника АВС.

Объяснение:

Т.к. есть точка пересечения бисс - т.О, то есть и лежащий на ней центр вписанно окружности. Пусть вписанная окр-ть пересекает стороны AB=a=6, BC =b=8, AC=c=10  в точках M,P,Q соответственно. CM,AP,BQ - бисс. Найдем сначала радиус вписанной:

p=P/2= (6+8+10)/2=12

По т. Герона: S = √(12*(12-6)(12-8)(12-10))= 24

S=p*r, r = 24/12 = 2

по св-вам касательных

AM=AQ = x

MB=BP=y

CP=CQ=z

2x+2y+2z = 24

x+y+z=12

z = 12 - (x+y) =12 - AB = 12-6 = 6

y = 12 - AC = 12 -10 =2

x = 12 - BC = 12 -8=4

Есть готовая ф-ла для нахождения бисс, она выводится через теорему cos.

l = √(ab - mn)

AP = √(6*10 - 2*6) = √48 = 4√3

BQ = √(6*8 - 4*6) = √24 = 2√6

CM = √(8*10 - 2*4)=6√2

AO = AP - r = 4√3 - 2 = 2*(2√3 - 1), AO : r = 2*(2√3 - 1) : 2 = (2√3 - 1) : 1

BO = BQ - r =  2√6 - 2 = 2*(√6 - 1), BO : r = 2*(√6 - 1) : 2 = (√6 - 1) : 1

CO = CM - r = 6√2 - 2 = 2*(3√2 - 1), AO : r = 2*(3√2 - 1) : 2 = (3√2 - 1) : 1