Стороны основания правильной треугольной усеченной пирамиды равны 6 см и 4 см.Найдите апофему пирамиды и площадь полной поверхности.

1.
ΔАВС: ∠АВС = 90°, ∠ВАС = 30°,
             tg30° = BC / AB
            1/√3 = 6 / AB
             AB = 6√3 см

2.
Sabcd = ab = 192
Pabcd = 2(a + b) = 56

Получаем систему уравнений:
ab = 192
a + b = 28

b = 28 - a
28a - a² = 192              решим второе

a² - 28a + 192 = 0
D/4 = 14² - 192 = 196 - 192 = 4
a = 14 + 2 = 16            или              a = 14 - 2 = 12
b = 12                                                b = 16

Итак, стороны прямоугольника 12 см и 16 см.
МО - перпендикуляр к плоскости прямоугольника.
Наклонные, проведенные из точки М, равны, значит равны и их проекции, т.е. АО = ОВ = ОС = OD, ⇒ О - точка пересечения диагоналей.
ΔАВС: ∠АВС = 90°, по теореме Пифагора
             АС = √(АВ² + ВС²) = √(256 + 144) = √400 = 20 см
ОА = 10 см

ΔМОА: ∠МОА = 90°, по теореме Пифагора
               МА = √(МО² + ОА²) = √(576 + 100) = √676 = 26 см

3.
Наклонные FA и FC равны, значит равны и их проекции:
ВА = ВС = х.
Из треугольника АВС по теореме косинусов:
АС² = АВ² + ВС² - 2·АВ·ВС·cos120°
36 = x² + x² - 2·x·x·(- 0,5)
36 = 2x² + x²
36 = 3x²
x² = 12
x = 2√3 cм

Из ΔAFC по теореме Пифагора
а² + а² = АС²
2а² = 36
a² = 18
a = 3√2 см

Из ΔABF по теореме Пифагора
FB = √(FA² - AB²) = √(18 - 12) = √6 см

Δ АВС - равнобедренныйВК = 30 см - биссектриса к основанию АС, она же и медиана Δ АВС ⇒ АК=КСNM = 16 см  - средняя линия II АС ⇒AN=NBNK = ? - средняя линия II ВС  NM x ВК в т.О и деляться ей пополам, т.к. Δ NMB подобен  Δ АВС по 3-м углам, ⇒ Δ NMB равнобедренный и ВО его высота, биссектриса и медиана. ВО=ВК т.к. NM средняя линия  Δ АВСПолучаемNO=1/2NM= 16/2=8OK=1/2ВК= 30/2=15Δ NOK прямоугольный, т.к. уже доказано, что BO высота Δ NMB ⇒ <BON = 90°<NOK - смежный и =180°-<BON = 90°По теореме Пифагора находим NK - гипотенузу Δ NOK NK=√(NO²+OK²) = √(8²+15²)=√(64+225)=√289=17 см