Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 5 см и 6 см, а диагональ - √65 см. Найдите объем параллелепипеда.

В трапеции ABCD (AD II BC) биссектриса угла ABC пересекает среднюю линию в точке P. Докажите, что угол APB = 90 градусов. 
--
Биссектриса делит угол АВС пополам.
Пусть она пересекает АД в точке К. 
Угол СВК равен углу ВКА как накрестлежащий.  Но СВК=АВК по условию ⇒ углы пи ВК равны, и треугольник ВАК - равнобедренный.  
Средняя линия трапеции является и средней линией треугольника АВК и  делит стороны пополам. 
ВР=РК.⇒ АР - медиана треугольника ВАК.
Так как в равнобедренном треугольнике медиана является и биссектрисой, и высотой, АР - выстоа, перпендикулярна ВК и угол АРВ=90º

Хорошая задача, хотя и очень простая. Каждый отрезок, который соединяет M с её образами M_1 ... проходит через середину стороны четырехугольника и делится ей пополам.
Если соединить все середины сторон четырехугольника, то получится параллелограмм, стороны которого равны половине диагоналей четырехугольника (и параллельны им).
Легко видеть, что, к примеру, отрезок T_1T_2 - средняя линия треугольника MM_1M_2. И точно также - остальные. Поэтому многоугольник M_1M_2M_3M_4 - параллелограмм, стороны которого в два раза больше сторон параллелограмма T_1T_2T_3T_4. То есть равны (и параллельны) диагоналям исходного четырехугольника.
Поскольку этот вывод не зависит от положения точки M, все доказано.
Конечно, само положение этого параллелограмма зависит от положения точки M.