Пусть нам дана плоскость α. Прямая АВ лежит в плоскости α, а прямая DC пересекается с плоскостью α в точке С, которая не лежит на прямой АВ (Рис. 1.). Докажем, что прямые АВ и DC являются скрещивающимися.
Используем метод от противного. Предположим, что существует плоскость β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC. Тогда в плоскости β лежит прямая АВ и точка С. Через прямую и точку, не лежащую на ней проходит единственная плоскость - α. Значит, такой плоскости β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC, не существует. То есть, прямые АВ и DC – скрещивающиеся. ЧТД.
Пусть точка С расположена между точками D и Е, то есть С ближняя к точке Е, а В дальняя от точки Е вершины треугольника АВС. Угол АВС - вписанный в окружность, он измеряется половиной дуги АС. Угол ЕАС - угол между хордой и касательной, он тоже измеряется половиной дуги АС. Значит (угол ЕАС) =(угол АВС) . Так, как АD биссектриса угла ВАС, то (угол ВАD)=(угол DАС) . (Угол ЕАD)=(угол ЕАС) +(угол CAD), (угол АDE)=(угол АВD)+(угол BAD) как внешний угол треугольника АВD. Значит (угол ЕАD)=(угол АDЕ) . Отсюда следует, что треугольник ЕАD равнобедренный, и АЕ=ЕD.
Пусть нам дана плоскость α. Прямая АВ лежит в плоскости α, а прямая DC пересекается с плоскостью α в точке С, которая не лежит на прямой АВ (Рис. 1.). Докажем, что прямые АВ и DC являются скрещивающимися.
Используем метод от противного. Предположим, что существует плоскость β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC. Тогда в плоскости β лежит прямая АВ и точка С. Через прямую и точку, не лежащую на ней проходит единственная плоскость - α. Значит, такой плоскости β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC, не существует. То есть, прямые АВ и DC – скрещивающиеся. ЧТД.
(Угол ЕАD)=(угол ЕАС) +(угол CAD), (угол АDE)=(угол АВD)+(угол BAD) как внешний угол треугольника АВD. Значит (угол ЕАD)=(угол АDЕ) . Отсюда следует, что треугольник ЕАD равнобедренный, и АЕ=ЕD.