Сумма ребер тетраэдра равна 150см. вычислите площадь полной поверхности тетраэдра и объем

Диаметр описанной около правильного треугольника окружности равен 2/3 от биссектрис этого треугольника.

Так как треугольник правильный, то биссектриса является и медианой, и высотой.
Предположим, что нам дан треугольник ABC. BH и AE - высоты к AC и BC соответственно. BH и BE пересекаются в точке O.

Медианы делятся в отношении 2:1. То есть BO : OH = 2 : 1. При этом BO - искомый радиус.

Так как BH - медиана, то AH = 1/2 AC = 3√3 см
BH - высота ⇒ треугольник AHB - прямоугольный. По теореме Пифагора найдём BH:
BH² = AB² - AH²
BH² = 36*3 - 9*3 = 9(12 - 3) = 9 * 9 = 81
BH = 9 см

BO = 2/3BH = 2/3 * 9 = 6 см

ответ: радиус равен 6 см.

Дан угол α = 45° наклона бокового ребра к основанию и длина ОС = 5 см (это половина диагонали основания).

Сторона а основания равна: а = ОС/(cos 45°) = 5/(1/√2) = 5√2 см.
1) So = а² = 25*2 = 50 см².
2)Sбок и S.
Находим периметр основания Р = 4а = 4*5√2 = 20√2 см.
Апофема А = √((а/2)² + Н²) = √((50/4)+25) = √(150/4) = 5√6/2 см.
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*20√2*(5√6/2) = 100√12/4 = 100√3 см².
Площадь S полной поверхности пирамиды равна:
S = So + Sбок = 50 + 100√3 = 50(1+2√3) ≈  223,2051 см² 
3) CD = а = 5√2 ≈  7,071068 см .
4)площадь треугольника sdc (это площадь боковой грани):
S(SCD) =  (1/2)аА = (1/2)*5√2*(5√6/2) = 25√12/4 = 25√3 см².