Сумма внутренних углов треугольника равна 180 °. Если второй угол вдвое больше первого угла, а третий угол на 30 ° больше второго угла, найдите величину каждого угла треугольника.

Пусть катеты будут a и b, тогда:
Выражение площади 18=1/2 * a * b
Теорема Пифагора 12^2=a^2+b^2
Из первого:
a*b=36
b=36/a
Подставляя во второе:
144=a^2+(36/a)^2
144*a^2=a^4+36^2
a^4-144*a^2+36^2=0
D=144^2-4*36^2=15552=64*81*3
a^2=(144+-8*9*(кореньиз3))/2=72+-36(кореньиз3)=
b^2=144-a^2=144-72-+36(кореньиз3)=72-+36(кореньиз3)
Теперь округлённо посчитаем стороны:
a^2=(72+-36*1,73)=72+-62,35={9,65; 134,35}
a={3,11; 11,6}
cos A = 3,11/12 = 0,26
A = arccos (0,26) = 75 градусов
cos B = 11,6/12 = 0,97
B = arccos (0,97) = 15 градусов

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС к боковой стороне АВ проведена медиана СД, равная 13 см.Периметр треугольника ДВС больше периметра треугольника АДС на 19 см.Найдите стороны треугольника АВС, если его периметр равен 53 см.

Дано :
AB = BC ; AD=BD  ;    * * *  CD =13 см _ не только лишнее но и ... * * *
P_DBC  -  P_ADC = 19 см ;
P_ABC =  53  см.
--- 
AB = BC - ? 
AC - ?

P_DBC  -  P_ADC = 19 ⇔ BC - AC =19    (1) 
* * * (BC + BD + DC) -(AC +AD +DC) = (BC -AC)+( BD - AD) +( DC -DC) * * *
P_ABC = 2 *BC+ AC  = 53      (2)
Складывая  уравнения  (1) и (2) получаем :
3 * BC =19+53 ⇒ BC =72/3 =24 (см) . 
AC = BC -19 =24 -19  =5  (см) .

ответ : AB = BC =24 см , AC = 5  см .
* * * *  * *  PS  * * * *  * *
медиана CD = (1/2)*√( 2(a² +b²) - a² ) = (1/2)*√(a² +2b²)  =(1/2)*√(24² +2*5²) = 
 (1/2)*√626  ≈(1/2)*25,02  = 12,51    ≠  13 .