Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания. Все грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники. Поэтому если плоский угол ври вершине равен 60°, то эти треугольники - равносторонние. Следовательно, стороны основания равны боковому ребру. Поэтому в пирамиде МАВС АВ=ВС=АС= МА=4 см. Объём пирамиды равен одной трети произведения её высоты на площадь основания. Для правильного треугольника S(АВС=(a²√3):4 S=16√3/4=4√3 Центр ∆ АВС лежит в точке пересечения медиан (высот, биссектрис) правильного треугольника. По свойству медиан АО=2/3•АН=АВ•sin60°•2/3 AO=(4•√3/2)•2/3=4/√3 Из прямоугольного ∆ АМО по т.Пифагора МО=√(АМ²-АО²)=(4√2)/√3 V= см³≈7,54 см³ ------- Правильная треугольная пирамида с плоским углом при вершине 60° - правильный тетраэдр. Формула его объёма где а - длина его ребра. см³
Полезно помнить, что высота тупоугольного треугольника, проведенная из вершины острого угла, расположена ВНЕ треугольника и пересекает продолжение стороны. к которой проведена.
* * *
В равнобедренном треугольнике с углом при вершине, равным 120°, углы при основании равны (180°-120°):2=30°
Обозначим высоту, проведенную к основанию, ВН. По условию ВН=10.
В прямоугольном ∆ АВН гипотенуза АВ=ВН:sin30°=20
В прямоугольном ∆ ВDС угол CBD=60° (смежный углу АВС). ⇒
угол ВСD=30°,
В ∆ АВС стороны ВС=АВ=20 см, ⇒ BD=BC•sin30°=20•0,5=10 см
Все грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники.
Поэтому если плоский угол ври вершине равен 60°, то эти треугольники - равносторонние. Следовательно, стороны основания равны боковому ребру.
Поэтому в пирамиде МАВС
АВ=ВС=АС= МА=4 см.
Объём пирамиды равен одной трети произведения её высоты на площадь основания.
Для правильного треугольника
S(АВС=(a²√3):4
S=16√3/4=4√3
Центр ∆ АВС лежит в точке пересечения медиан (высот, биссектрис) правильного треугольника.
По свойству медиан АО=2/3•АН=АВ•sin60°•2/3
AO=(4•√3/2)•2/3=4/√3
Из прямоугольного ∆ АМО по т.Пифагора
МО=√(АМ²-АО²)=(4√2)/√3
V=
-------
Правильная треугольная пирамида с плоским углом при вершине 60° - правильный тетраэдр.
Формула его объёма
Полезно помнить, что высота тупоугольного треугольника, проведенная из вершины острого угла, расположена ВНЕ треугольника и пересекает продолжение стороны. к которой проведена.
* * *
В равнобедренном треугольнике с углом при вершине, равным 120°, углы при основании равны (180°-120°):2=30°
Обозначим высоту, проведенную к основанию, ВН. По условию ВН=10.
В прямоугольном ∆ АВН гипотенуза АВ=ВН:sin30°=20
В прямоугольном ∆ ВDС угол CBD=60° (смежный углу АВС). ⇒
угол ВСD=30°,
В ∆ АВС стороны ВС=АВ=20 см, ⇒ BD=BC•sin30°=20•0,5=10 см
AD=AB+DB=20+10=30 см