1) Вначале надо найти уравнение прямой, проходящей через центр окружности и перпендикулярной заданной прямой 6x+8y-1=0. Уравнение 6x+8y-1=0 преобразуем: у = (-6/8)х + (1/8) или у = (-3/4)х + (1/8). Уравнение перпендикулярной прямой имеет вид у = (-1/к)*х + в. у = (4/3)х + в. Для определения коэффициента в подставим координаты точки О: -1 = (4/3)*1 + в, в = -1 - (4/3) = -7/3. Получаем уравнение у = (4/3)х - (7/3).
2) Находим точки пересечения окружности и перпендикулярной прямой. Для этого решаем систему уравнений: (х-1)²+(у+1)² = 4, у = (4/3)х - (7/3). Используя подстановки, получаем 2 точки касания: А(-0,2; -2,6) и В(2,2; 0,6) или А((-1/5); (-13/5)) и В((11/5); (3/5)).
3) Находим уравнения прямых, проходящих через найденные точки параллельно заданной прямой 6x+8y-1=0 или у = (-3/4)х + (1/8). У этих параллельных прямых коэффициенты перед х равны (-3/4), а коэффициенты в находим подстановкой координат точек касания А и В. -13/5= (-3/4)*(-1/5) + в, в = (-13/5) - (3/20) = -55/20 = -11/4. Получаем уравнение первой прямой: у = (-3/4)х - (11/4).
3/5 = (-3/4)*(11/5) + в, в = (3/5) + (33/20) = 45/20 = 9/4. Получаем уравнение второй прямой: у = (-3/4)х + (9/4).
В треугольнике ABC проведем медианы AM, BN, CR. Пусть О - точка пересечения медиан, и K - середина OC. Тогда треугольник OMK подобен треугольнику, составленному из медиан с коффициентом 1/3. Действительно, OM=AM/3, MK=OB/2=(2BN/3)/2=BN/3, OK=OC/2=(2CR/3)/2=CR/3. Здесь использовано то, что О делит медианы в отношении 2:1 считая от вершины, из которой проведена медиана. Таким образом, Здесь h - высота треугольника ABC из вершины А, h/3 - высота треугольника OMC из вершины О (т.к. OM=AM/3). Итак, . Т.к. стороны треугольника OMK равны трети длин медиан, то площадь треугольника, составленного из медиан в 9 раз больше площади треугольника OMK, т.е. она равна Поэтому искомое отношение площади треугольника ABC, к площади треугольника, составленного из его медиан равно 4/3.
Уравнение 6x+8y-1=0 преобразуем:
у = (-6/8)х + (1/8) или у = (-3/4)х + (1/8).
Уравнение перпендикулярной прямой имеет вид у = (-1/к)*х + в.
у = (4/3)х + в.
Для определения коэффициента в подставим координаты точки О:
-1 = (4/3)*1 + в,
в = -1 - (4/3) = -7/3.
Получаем уравнение у = (4/3)х - (7/3).
2) Находим точки пересечения окружности и перпендикулярной прямой.
Для этого решаем систему уравнений:
(х-1)²+(у+1)² = 4,
у = (4/3)х - (7/3).
Используя подстановки, получаем 2 точки касания:
А(-0,2; -2,6) и В(2,2; 0,6) или А((-1/5); (-13/5)) и В((11/5); (3/5)).
3) Находим уравнения прямых, проходящих через найденные точки параллельно заданной прямой 6x+8y-1=0 или у = (-3/4)х + (1/8).
У этих параллельных прямых коэффициенты перед х равны (-3/4), а коэффициенты в находим подстановкой координат точек касания А и В.
-13/5= (-3/4)*(-1/5) + в,
в = (-13/5) - (3/20) = -55/20 = -11/4.
Получаем уравнение первой прямой: у = (-3/4)х - (11/4).
3/5 = (-3/4)*(11/5) + в,
в = (3/5) + (33/20) = 45/20 = 9/4.
Получаем уравнение второй прямой: у = (-3/4)х + (9/4).
OM=AM/3,
MK=OB/2=(2BN/3)/2=BN/3,
OK=OC/2=(2CR/3)/2=CR/3.
Здесь использовано то, что О делит медианы в отношении 2:1 считая от вершины, из которой проведена медиана. Таким образом,
Здесь h - высота треугольника ABC из вершины А, h/3 - высота треугольника OMC из вершины О (т.к. OM=AM/3). Итак,