Тіктөртбұрыштың периметрі 100 см. Егер бір қабырғасы екіншісінен 10 см-ге артық болса, онда оның қабырғаларын тап. 2. Егер тіктөртбұрыштың қабырғаларының қатынасы 4 : 9 қатынасындай, ал ауданы 144 м2 болса, тіктөртбұрыштың қабырғаларын тап.
3. Тіктөртбұрыштың диагональдарының қиылысу нүктесінен оның көршілес екі қабырғаларына дейінгі қашықтықтардың қосындысы 38 см-ге тең. Егер оның қабырғаларының қатынасы 12 : 7 қатынасындай болса, тіктөртбұрыштың қабырғаларын тап.
4. ABCD тіктөртбұрышының диагональдары О нүктесінде қиылысады, ∠ABD = 58°. Тіктөртбұрыштың диагональдарының арасындағы бұрышты тап.
5. Егер тіктөртбұрыштың ауданы 35 дм2 , ал периметрі 24 дм болса, онда тіктөртбұрыштың қабырғаларын анықта.

Вариант 1).  Рассмотрим рисунок 1, данный в приложении. Пусть АВСD - данный квадрат, М - точка касания квадрата и сферы, О - центр сферы. По условию ОА=ОВ=ОС=ОD=8 см. По т. Пифагора R=ОМ=√(ОА²-МА²) Диагональ  АС квадрата – гипотенуза двух равных прямоугольных  равнобедренных треугольника с катетами 8 см и острыми углами 45°. и равна 8:sin45•=8√2. ⇒ AM=AC:2=4√2 ⇒ Искомый радиус OM=√(64-32)=4√2 см.

                                               *  *  *

Вариант 2). Возможно, квадрат касается сферы сторонами. Тогда решение будет другим. (см. рис.2)

Квадрат, длина стороны которого равна 8 см, касается сферы (сторонами). Вычислите длину радиуса сферы, если известно, что её центр удалён от вершин квадрата на расстояние, равное 8 см.

Квадрат касается  сферы в 4 точках, а плоскость квадрата отсекает от сферы круг, радиус которого равен радиусу окружности, вписанной в квадрат. Длина радиуса вписанной в квадрат окружности равна половине его стороны.

 r=8:2=4 см

Пусть  центр этой окружности (точка пересечения диагоналей квадрата) будет Н. 

Расстояние от центра О сферы до вершины С квадрата равно гипотенузе прямоугольного треугольника ОНС, в котором НС - половина диагонали квадрата, ОН - расстояние от центра сферы до плоскости квадрата. (см. рисунок)

Диагональ квадрата равна его стороне, умноженной на √2, т.е. 8√2. НС =(8√2):2=4√2

По т.Пифагора 

ОH²=OC²-HC²64-32=32

Обозначим точку касания квадрата и сферы Р. 

Тогда R=ОР=√(OH²+PH²)=√32+16)=√48=4√3 см

a = 5 см,

b = 4 см,

c = 7 см.

Найти R.

Запишем теорему синусов:

числитель и знаменатель дроби слева последнего равенства домножим на (b·c).

С учётом того, что , где S - площадь данного в условии треугольника, имеем

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

, где

Найдем, сначала, площадь треугольника.

p = (5+4+7)/2 = (9+7)/2 = 16/2 = 8 см.

S = √(8·(8-5)·(8-4)·(8-7)) = √(8·3·4·1) = 4·(√6) см²

Теперь найдем радиус описанной окружности.

R = 5·4·7/(4·4·(√6)) = 5·7/(4·(√6)) = 35·(√6)/(4·6) = 35·(√6)/24 см.

Теперь найдём длину окружности, описанной около данного треугольника.

L = 2πR = 2π·35·(√6)/24 см = π·35·(√6)/12 см.