Целочисленный прямоугольный треугольник, это так называемая "пифагорова тройка" : a,b,c ∈ N, для которой выполняется равенство: a² + b² = c²
Согласно формуле Евклида, для любой пары натуральных чисел m и n (m>n) целые числа: являются пифагоровой тройкой. Причём, для примитивных троек разность m-n - нечетная.
Итак, гипотенуза равна 2018 = 2 · 1009. Так как 1009 - простое число, то пусть с = 1009
Так как c = m² + n², то для числа 1009 нужно подобрать сумму квадратов.
a = √(47/3). Тогда b = √(149/3).
Объяснение:
Пусть АВ=CD=b, AD=BC=a (противоположные стороны параллелограмма). Диагональ BD = ВС = а, как проекции равных наклонных.Из прямоугольных треугольников АМВ и СМВ по Пифагору:
а²+h² = 17² ; b²+h² = 16² =>
a² - b² = 17²-16² = 34. (1)
Из треугольников АВD и BCD по теореме косинусов имеем:
a² + b² - 2·a·b·CosA = BD² = b²
a² + b² + 2·a·b·CosB = AC²= 81. (CosB = Cos(180-A) = -CosA). Сложим оба равенства:
2a²+2b² = b² + 81. => b² +2a² = 81. (2).
Вычтем: (1) - (2) и получим 3а² = 81-34 = 47. =>
a = √(47/3). Тогда b = √(149/3).
Целочисленный прямоугольный треугольник, это так называемая "пифагорова тройка" : a,b,c ∈ N, для которой выполняется равенство: a² + b² = c²
Согласно формуле Евклида, для любой пары натуральных чисел m и n (m>n) целые числа:
являются пифагоровой тройкой. Причём, для примитивных троек разность m-n - нечетная.
Итак, гипотенуза равна 2018 = 2 · 1009. Так как 1009 - простое число, то пусть с = 1009
Так как c = m² + n², то для числа 1009 нужно подобрать сумму квадратов.
1009 = 31² + 48 = 30² + 109 = 29² + 168 - не подходят
1009 = 28² + 15² ⇒ m = 28; n = 15
Тогда a = m² - n² = 28² - 15² = 559; b = 2mn = 2·28·15 = 840
Числа 559, 840 и 1009 - пифагорова тройка.
Но в условии число 2018 вдвое больше числа 1009, значит искомая тройка 2·559; 2·840; 2·1009
Прямоугольный треугольник имеет стороны 1118, 1680, 2018 см
Проверка : 1118² + 1680² = 2018²
1 249 924 + 2 822 400 = 4 072 324
4 072 324 = 4 072 324
ответ: 1118 см, 1680 см, 2018 см