Пусть A' – середина дуги BC. Так как OA' || IA2, прямые OI и A'A2 пересекаются в точке K – центре гомотетии описанной и вписанной окружностей (см. рис.). Докажем, что K – искомый радикальный центр.
Первый Так как инверсия с центром A' и радиусом A'B меняет местами прямую BC и описанную окружность Ω треугольника ABC, точка A1 переходит в A, а A2 – в точку A'' пересечения прямой A'A2 с описанной окружностью. Следовательно, точки A, A1, A2 и A'' лежат на одной окружности.
Степень точки K относительно описанной окружности треугольника AA1A2 равна – KA2·KA'' = – r/R AA'·KA'' = r/R s(K), где s(K) – степень точки K относительно Ω.
Очевидно, степени точки K относительно описанных окружностей треугольников BB1B2 и CC1C2 будут такими же, то есть K – радикальный центр трёх окружностей.
Второй Пусть A', B', C' – середины дуг BC, CA, AB. Тогда треугольник A'B'C' переводится в A2B2C2 гомотетией с коэффициентом r/R и центром K, то есть KA2 : A'A2 = KB2 : B'B2 = KC2 : C'C2 = k : 1. Для точек прямой A'A2 разность степеней относительно описанной окружности треугольника AA1A2 и вписанной окружности треугольника ABC является линейной функцией. В точке A2 эта функция равна нулю,
а в точке A' – r², поскольку A'A1·A'A = A'B² = A'I² (первое равенсто следует из подобия треугольников A'A1B и A'BA, а второе – из леммы о трезубце – см. задачу 53119). Значит, в точке K эта разность равна – kr². Другие аналогичные разности в точке K также равны – kr², откуда и следует требуемое
Когда нам дано, что подобны треугольники, то, чтобы записать пропорциональность сторон, имеется два 1)смотрим на рисунок и определяем пропорциональность исходя из признака. 2)если нам известно, что подобны такие-то треугольники, то это можно записать исходя из того, как записаны буквы. Т.к.никакого рисунка у нас нет и признак нам еще придется определить, то будем пользоваться вторым Т.к. подобны треугольники WMF и WAV, то записывается это так: WM/WA = MF/AV = WF/WV (заметьте здесь закономерность, если не заметили - спросите - объясню). Возьмем первую и третью дробь, т.к. там нам известно самое больше количество сторон: WM/WA = WF/WV WM=WA*WF/WV = 26*19/24,7 = 20(дм). Теперь определим признак подобия. Их всего 3: 1)Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны. 2)Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны, образующие этот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны. 3)Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны
Ну 3 сразу отпадает, т.к. такого варианта ответа даже нет. Здесь подходит второй признак, т.к. нам дано по две стороны в каждом треугольнике, которые пропорциональны, значит скорее всего угол будет и там, и там равный. ответ: 4.
С вами был lovelyserafima, удачи! Не забывайте отмечать лучшим и оценивать ответ, если он вам понравился) Будут еще вопросы - задавайте;)
Пусть A' – середина дуги BC. Так как OA' || IA2, прямые OI и A'A2 пересекаются в точке K – центре гомотетии описанной и вписанной окружностей (см. рис.). Докажем, что K – искомый радикальный центр.
Первый Так как инверсия с центром A' и радиусом A'B меняет местами прямую BC и описанную окружность Ω треугольника ABC, точка A1 переходит в A, а A2 – в точку A'' пересечения прямой A'A2 с описанной окружностью. Следовательно, точки A, A1, A2 и A'' лежат на одной окружности.
Степень точки K относительно описанной окружности треугольника AA1A2 равна – KA2·KA'' = – r/R AA'·KA'' = r/R s(K), где s(K) – степень точки K относительно Ω.
Очевидно, степени точки K относительно описанных окружностей треугольников BB1B2 и CC1C2 будут такими же, то есть K – радикальный центр трёх окружностей.
Второй Пусть A', B', C' – середины дуг BC, CA, AB. Тогда треугольник A'B'C' переводится в A2B2C2 гомотетией с коэффициентом r/R и центром K, то есть KA2 : A'A2 = KB2 : B'B2 = KC2 : C'C2 = k : 1. Для точек прямой A'A2 разность степеней относительно описанной окружности треугольника AA1A2 и вписанной окружности треугольника ABC является линейной функцией. В точке A2 эта функция равна нулю,
а в точке A' – r², поскольку A'A1·A'A = A'B² = A'I² (первое равенсто следует из подобия треугольников A'A1B и A'BA, а второе – из леммы о трезубце – см. задачу 53119). Значит, в точке K эта разность равна – kr². Другие аналогичные разности в точке K также равны – kr², откуда и следует требуемое
1)смотрим на рисунок и определяем пропорциональность исходя из признака.
2)если нам известно, что подобны такие-то треугольники, то это можно записать исходя из того, как записаны буквы.
Т.к.никакого рисунка у нас нет и признак нам еще придется определить, то будем пользоваться вторым
Т.к. подобны треугольники WMF и WAV, то записывается это так:
WM/WA = MF/AV = WF/WV (заметьте здесь закономерность, если не заметили - спросите - объясню).
Возьмем первую и третью дробь, т.к. там нам известно самое больше количество сторон:
WM/WA = WF/WV
WM=WA*WF/WV = 26*19/24,7 = 20(дм).
Теперь определим признак подобия. Их всего 3:
1)Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.
2)Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны, образующие этот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.
3)Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны
Ну 3 сразу отпадает, т.к. такого варианта ответа даже нет.
Здесь подходит второй признак, т.к. нам дано по две стороны в каждом треугольнике, которые пропорциональны, значит скорее всего угол будет и там, и там равный.
ответ: 4.
С вами был lovelyserafima, удачи! Не забывайте отмечать лучшим и оценивать ответ, если он вам понравился) Будут еще вопросы - задавайте;)