Теорема косинусов(формулировка,чертеж, запись каждой стороны через другие стороны и выражение косинуса угла через другие стороны треугольника! надо ; (

Показать ответ

Ответ:

julss11

02.10.2020 04:36

Формулировка теоремы косинусов

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:

$a^{2}= b^{2} + c^{2} -2bc*cos \alpha$

Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного их произведения, умноженного на косинус угла между ними.

Доказательство теоремы косинусов

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Предположим, что нам известна величина стороны AC (она равна некому числу b), величина стороны AB (она равна некому числу c) и угол между этими сторонами, величина которого равна α. Найдем величину стороны BC (обозначив ее длину через переменную a)

Для доказательства теоремы косинусов проведем дополнительные построения. Из вершины C на сторону AB опустим высоту CD.
Найдем длину стороны AB. Как видно из рисунка, в результате дополнительного построения можно сказать, что AB = AD + BD

Найдем длину отрезка AD. Исходя из того, что треугольник ADC является прямоугольным, нам известны длина его гипотенузы (b) и угол (α) то величину стороны AD можно найти из соотношения его сторон, пользуясь свойствами тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:

$\frac{AD}{AC} =cos \alpha$

откуда

$AD = AC cos \alpha \\ 
AD = b cos \alpha$

Длину стороны BD найдем как разность AB и AD:

$BD = AB - AD \\ 
BD = c-b cos \alpha$

Теперь запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
для треугольника BDC

CD^2 + BD^2 = BC^2

для треугольника ADC

CD^2 + AD^2 = AC^2

Обратим внимание на то, что оба треугольника имеют общую сторону - CD. Определим ее длину для каждого треугольника - вынесем ее значение в левую часть выражения, а остальное - в правую.

$CD^2 = BC^2 - BD^2 \\ 
CD^2 = AC^2 - AD^2$