Рассмотрим ΔAOD. AO=OD (радиусы) ΔAOD - равнобедренный уголOAD =уголODA уголOAD +уголODA=180 град - уголAOD=180 град-120 град=60 град уголOAD =уголODA=60 град : 2 =30 град.
Рассмотрим ΔAOB. AO=OB (радиусы) ΔAOB - равнобедренный уголABO= уголBAO уголABO+ уголBAO=180 град -уголAOB=180 град-80 град=100 град уголABO= уголBAO=100 град :2=50 град. уголBAD=уголBAO+ уголOAD=50 град+30 град=80 град.
Так как четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 град. уголBAD+уголBCD=180 град уголBCD=180 град - уголBAD=180 град-80 град=100 град уголBCD=уголBCO+уголOCD уголOCD=уголBCD- уголBCO=100 град-55 град=45 град.
Рассмотрим ΔDOC DO=OC (радиусы) ΔDOC - равнобедренный уголOCD= уголODC=45 град уголADC= уголODA+ уголODC=30 град+45 град=75 град уголADC+ уголABC=180 град уголABC=180 град- уголADC=180 град-75 град=105 град
уголBAD=угол А=80 град уголABC=угол B=105 град уголBCD=угол C=100 град уголADC=угол D=75 град
1. АВ = CD по условию, АВ║CD как два перпендикуляра к одной плоскости, значит, ABDC - параллелограмм. ⇒ АС║BD. Если точка D не лежит в плоскости α, то BD пересекает α в точке В, значит и АС пересекает α. Если точка D принадлежит плоскости α, то BD лежит в плоскости, АС║BD и, значит, АС║α.
2. Пусть АВ∩α = О. АС║BD║ЕЕ₁ как перпендикуляры к одной плоскости. Значит, через прямые АС и BD можно провести плоскость, которая пересечет плоскость α по прямой CD. Значит, точки С, D, Е₁ и О лежат на одной прямой. ΔАСО подобен ΔBDO по двум углам (∠АСО = ∠BDO = 90°, углы при вершине О равны как вертикальные), ВО:AO = BD:AC = 10:14 = 5:7 ⇒ BO = 5/12 AB BE = 1/2 AB, ⇒ OE = BE - BO = 1/12 AB
ΔЕЕ₁О подобен ΔBDO по двум углам (∠ЕЕ₁О = ∠BDO = 90°, углы при вершине О равны как вертикальные), ЕЕ₁:BD = EO:BO ЕЕ₁:10 = (1/12 AB):(5/12 AB) = 1:5
AO=OD (радиусы)
ΔAOD - равнобедренный
уголOAD =уголODA
уголOAD +уголODA=180 град - уголAOD=180 град-120 град=60 град
уголOAD =уголODA=60 град : 2 =30 град.
Рассмотрим ΔAOB.
AO=OB (радиусы)
ΔAOB - равнобедренный
уголABO= уголBAO
уголABO+ уголBAO=180 град -уголAOB=180 град-80 град=100 град
уголABO= уголBAO=100 град :2=50 град.
уголBAD=уголBAO+ уголOAD=50 град+30 град=80 град.
Так как четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 град.
уголBAD+уголBCD=180 град
уголBCD=180 град - уголBAD=180 град-80 град=100 град
уголBCD=уголBCO+уголOCD
уголOCD=уголBCD- уголBCO=100 град-55 град=45 град.
Рассмотрим ΔDOC
DO=OC (радиусы)
ΔDOC - равнобедренный
уголOCD= уголODC=45 град
уголADC= уголODA+ уголODC=30 град+45 град=75 град
уголADC+ уголABC=180 град
уголABC=180 град- уголADC=180 град-75 град=105 град
уголBAD=угол А=80 град
уголABC=угол B=105 град
уголBCD=угол C=100 град
уголADC=угол D=75 град
Если точка D не лежит в плоскости α, то BD пересекает α в точке В, значит и АС пересекает α.
Если точка D принадлежит плоскости α, то BD лежит в плоскости, АС║BD и, значит, АС║α.
2. Пусть АВ∩α = О.
АС║BD║ЕЕ₁ как перпендикуляры к одной плоскости. Значит, через прямые АС и BD можно провести плоскость, которая пересечет плоскость α по прямой CD. Значит, точки С, D, Е₁ и О лежат на одной прямой.
ΔАСО подобен ΔBDO по двум углам (∠АСО = ∠BDO = 90°, углы при вершине О равны как вертикальные),
ВО:AO = BD:AC = 10:14 = 5:7
⇒ BO = 5/12 AB
BE = 1/2 AB, ⇒
OE = BE - BO = 1/12 AB
ΔЕЕ₁О подобен ΔBDO по двум углам (∠ЕЕ₁О = ∠BDO = 90°, углы при вершине О равны как вертикальные),
ЕЕ₁:BD = EO:BO
ЕЕ₁:10 = (1/12 AB):(5/12 AB) = 1:5
ЕЕ₁ = 2