Тест по геометрии на тему признаки подобич треугольника

Вот решение:

1) Проведём медиану к основанию равнобедренного треугольника. 

2) Рассмотрим получившиеся треугольники СКМ и КНС:

   Сторона КС - обшая;
   КМ = КН по определению, по условию;
   МС = СН по условию, т. к. медиана делит противолежаую сторону пополам.
   Треугольники КНС и КМС равны по 3-му признаку равенства треугольников (Если три стороны одного тр-ка равны трём сторонам другого, то тр-ки равны)

3) еСЛИ ОНИ РАВНЫ, то и соответствуюшие элементы треугольников равны. Угол МкС  равен углу НкС, значит, для тр-ка КМН КС - биссектриса

Биссектриса делит угол пополам. 

В правильном треугольнике биссектриса, медиана и высота совпадают (читай: одно и то-же). Причем в точке пересечений они будут иметь отношение 2:1 (свойства). Таким образом, радиус описанной окружности это, скажем, медиана до центра тругольника (точки пересечения всех последних), а вписанной это та-же медиана, только от центра треугольника (перпендикуляр из центра треугольника опущенный на любую из сторон есть радиус вписанной окружности). Находим медиану по теореме Пифагора, 12^2-6^2 и все это под корнем (12 - дано, 6-потому что медиана делит сторону пополам) и равна 3 корня из 6 и соответственно радиус вписанной окружности корень из 6, а описанной 2 корня из 6.