Тестовые задания по геометрии
С 4 по 9 задание

В условии ошибка. Если сторона квадрата 24, то его диагональ 24√2 ≈ 34. Тогда в треугольнике ASC сторона АС больше суммы двух других сторон: 34 > 13 + 13, т.е. треугольник с такими сторонами не существует.

Встречается такая же задача с другими данными:

Сто­ро­ны ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равны 10, бо­ко­вые ребра равны 13. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды.

Пирамида правильная, значит в основании лежит квадрат, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

Проведем SH⊥CD. Тогда CH = HD (треугольник SCD равнобедренный).

CH = HD = 1/2 CD = 5.

ΔSCH: ∠SHC = 90°, по теореме Пифагора:

              SH = √(SC² - CH²) = √(169 - 25) = √144 = 12

Sпов = Sосн + Sбок

Sосн = AD² = 10² = 100

Sбок = 1/2 Pосн · SH = 1/2 · 10 · 4 · 12 = 240

Sпов = 100 + 240 = 340 ед. кв.

Пусть сторона основания а = 3,8, боковое ребро L = 5,9.

Площадь основания So = a²√3/4 = 3,8²√3/4 = 3,61√3 ≈ 6,2527 кв.ед.

В правильной треугольной пирамиде проекция бокового ребра на основание равна 2/3 высоты основания h.

(2/3)h = (2/3)*a*cos 30° = (2*3,8*√3)/(3*2) = (3,8*√3)/3 ≈ 2,19393.

Отсюда можно найти высоту пирамиды  Н:

Н = √(L² - (2h/3)²) = √(5,9² - ((3,8*√3)/3)²) = √(34,81 - 4,8133) = √29,9967

≈ 5,47692.

Апофема А боковой грани равна:

A = √(H² + (h/3)²) = √(29,9967 + ((3,8*√3)/6)²) = √31,2  ≈ 5,5857.

Площадь боковой поверхности Sбок = (1/2)АР, где Р - периметр основания.

Sбок = (1/2)*(√31,2)*(3*3,8) = 5,7√31,2 ≈ 31,8385 кв.ед.

Площадь поверхности S равна:

S = So +Sбок = (3,61√3) + (5,7√31,2) ≈ 38,0912  кв.ед.

Объём V пирамиды равен:

V = (1/3)SoH = (1/3)* (3,61√3)*5,47692 ≈ 11,4152  куб.ед.