Тетраэдр. Геометрия 11 класс.
В закрепленке.

Из треугольника АВС по теореме косинусов:

ВС² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cosA = 25 + 16 - 2 · 5 · 4 · 1/2

BC² = 41 - 20 = 21

BC = √21 см

Плоскости АВС и α параллельны, АВ лежит в плоскости АВС, значит АВ║α.

Параллельные прямые АА₁ и ВВ₁ задают плоскость. Назовем ее β.

Через прямую АВ, параллельную плоскости α, проходит плоскость β и пересекает плоскость α. Тогда линия пересечения плоскостей параллельна прямой АВ.

Итак, АВ║А₁В₁, АА₁║ВВ₁, значит АА₁В₁В - параллелограмм, значит АВ = А₁В₁.

Аналогично доказываем, что ВС = В₁С₁ и АС = А₁С₁.

Тогда ΔА₁В₁С₁ равен ΔАВС по трем сторонам. Значит

А₁В₁ = АВ = 5 см,

В₁С₁ = ВС = √21 см

А₁С₁ = АС = 4 см.

Докажем сначала, что это параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть точка О1(х;у) середина АС тогда

х=(-6+6)/2=0;  у=(1-4)/2=-1,5.

Пусть точка О2(х;у) середина BD тогда

х=(0+0)/2=0;  у=(5-8)/2=-1,5.

Значит О1 совпадает с О2 -  значит ABCD параллелограмм.

О(0;-1,5) - точки пересечения его диагоналей.

Докажем что это прямоугольник. Если диагонали параллелограмма равны то он прямоугольник.

АС^2=(6+6)^2+(-4-1)^2

АС^2=12^2+(-5)^2

АС^2=144+25

AC^2=169

AC=13

BD^2=(0+0)^2+(-8-5)^2

BD^2=0^2+(-13)^2

BD^2=0+169

BD^2=169

BD=13

AC=BD

ABCD - прямоугольник