точка дотику кола вписаного в рівнобедрений трикутник поділяє його бічну сторону на відрізки, що дорівнюють 6см і 5см, рахуючи від основи. Знайдіть периметр трикутника.

Нарисуем треугольник АВС.
Проведем в нем высоты АК и СМ.
По условию задачи они пересекаются под углом 110º.

1) Рассмотрим треугольник АМС.

Угол АМС =90º
Сумма острых углов в нем 90º, ∠А=70º по условию, следовательно,
∠ МСА=90º-70º=20º.

2)Рассмотрим треугольник АDС.
Так как ∠МСА=20 градусов,
то ∠DAC=180-110-20=50º.

3)Так как ∠ А=70º, а
∠КАС=50º,то ∠ВАК=70-50-20º

4)В прямоугольном треугольнике АВК ∠АКВ прямой, ∠ВАК=20º, следовательно, ∠В=90-20=70º

5) В треугольнике АВС ∠С=180-70-70=40º

ответ: Угол С=40º

Про­ведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AOH и BOH, они пря­мо­уголь­ные, сто­ро­ны AO и OB равны как ра­ди­у­сы окруж­но­стей, OH — общая, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AOH и HOB равны. От­ку­да AH=BH= дробь, чис­ли­тель — AB, зна­ме­на­тель — 2 =10. Ана­ло­гич­но, равны тре­уголь­ни­ки COK и KOD, от­ку­да CK=KD. Рас­смот­рим тре­уголь­ник BOH, найдём OB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

OB= ко­рень из { OH в сте­пе­ни 2 плюс BH в сте­пе­ни 2 }= ко­рень из { 24 в сте­пе­ни 2 плюс 10 в сте­пе­ни 2 }=26.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник OKD, он пря­мо­уголь­ный, из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра найдём KD:

KD= ко­рень из { OD в сте­пе­ни 2 минус OK в сте­пе­ни 2 }= ко­рень из { OB в сте­пе­ни 2 минус OK в сте­пе­ни 2 }= ко­рень из { 26 в сте­пе­ни 2 минус 10 в сте­пе­ни 2 }=24.

Таким об­ра­зом, CD=2KD=2 умно­жить на 24=48.

ответ: 48.