Точка k делит сторону bc квадратов abcd 1: 3 считая от точки b .отрезки ac и dk пересекаются в точке f .площадь треугольника adf равна 80см .найдите площадь треугольника cfk
Пусть точка О - точка пересечения АД и ВЕ. В ΔАВД по условию ВО является биссектрисой и высотой, значит и медианой АО=ОД=АД/2=2, а этот треугольник - равнобедренный АВ=ВД. ВС=2ВД=2АВ По свойству биссектрисы ВС/ЕС=АВ/АЕ 2АВ/ЕС=АВ/АЕ ЕС=2АЕ АС=АЕ+ЕС=3АЕ Проведем из вершины В прямую, параллельную АС, до пересечения с продолжением медианы АД в точке М. ΔАДС и ΔМДВ равны по стороне (ВД=ДС) и 2 прилежащим углам (вертикальные углы <АДС=<МДВ, накрест лежащие углы <МВД=<АСД). Значит АС=ВМ=3АЕ. ΔАОЕ и ΔМОВ подобны по 2 углам: АО/ОМ=ЕО/ВО=АЕ/ВМ=1/3 ЕО/ВО=1/3 ВО=3ЕО ВЕ=ВО+ЕО=4ЕО ЕО=ВЕ/4=4/4=1 ВО=3 Из прямоугольного ΔАОВ: АВ²=АО²+ВО²=4+9=13 сторона АВ=√13 сторона ВС=2√13 Из прямоугольного ΔАОЕ: АЕ²=АО²+ЕО²=4+1=5, АВ=√5 сторона АС=3√5 ответ: √13, 2√13 и 3√5
Пусть KO - диаметр большей окружности, перпендикулярный AB. Точка K лежит на большей окружности. Этот диаметр (проходящий через O перпендикулярно AB) делит пополам и хорду AB, и обе дуги AB - большую и малую.
Ясно, что KO II O1T; так как O1T тоже перпендикулярно AB.
Пусть прямая MT пересекает большую окружность в точке K1.
На чертеже эти точки K и K1 изображены, как одна - но именно это и есть предмет доказательства. Я буду доказывать, что точка K1 - середина большой дуги AB, то есть совпадает с точкой K.
Важно не забывать, что точка касания M лежит на линии центров OO1.
Треугольники OK1M и O1TM оба равнобедренные, и имеют общий угол OMT, следовательно, они подобны (из того, что есть один общий угол "при основании" у двух равнобедренных треугольников, следует, что все соответственные углы этих треугольников равны).
Поэтому OK1 II O1T; (легко увидеть признак параллельности равенство углов при секущей OM :) )
Ну, дальше - обычное заклинание "через точку O можно провести только одну прямую параллельную O1T". То есть точки K и K1 совпадают.
Это означает, что прямая MT, будучи продолжена за точку T, делит дугу AKB пополам (я напомню, что KO - диаметр, перпендикулярный хорде AB, поэтому точка K делит дугу AKB пополам. ).
Углы AMK и BMK - вписанные и опираются на равные дуги, поэтому они равны. Следовательно MT - биссектриса угла AMB;
В ΔАВД по условию ВО является биссектрисой и высотой, значит и медианой АО=ОД=АД/2=2, а этот треугольник - равнобедренный АВ=ВД.
ВС=2ВД=2АВ
По свойству биссектрисы ВС/ЕС=АВ/АЕ
2АВ/ЕС=АВ/АЕ
ЕС=2АЕ
АС=АЕ+ЕС=3АЕ
Проведем из вершины В прямую, параллельную АС, до пересечения с продолжением медианы АД в точке М.
ΔАДС и ΔМДВ равны по стороне (ВД=ДС) и 2 прилежащим углам (вертикальные углы <АДС=<МДВ, накрест лежащие углы <МВД=<АСД).
Значит АС=ВМ=3АЕ.
ΔАОЕ и ΔМОВ подобны по 2 углам:
АО/ОМ=ЕО/ВО=АЕ/ВМ=1/3
ЕО/ВО=1/3
ВО=3ЕО
ВЕ=ВО+ЕО=4ЕО
ЕО=ВЕ/4=4/4=1
ВО=3
Из прямоугольного ΔАОВ:
АВ²=АО²+ВО²=4+9=13
сторона АВ=√13
сторона ВС=2√13
Из прямоугольного ΔАОЕ:
АЕ²=АО²+ЕО²=4+1=5, АВ=√5
сторона АС=3√5
ответ: √13, 2√13 и 3√5
Пусть KO - диаметр большей окружности, перпендикулярный AB. Точка K лежит на большей окружности. Этот диаметр (проходящий через O перпендикулярно AB) делит пополам и хорду AB, и обе дуги AB - большую и малую.
Ясно, что KO II O1T; так как O1T тоже перпендикулярно AB.
Пусть прямая MT пересекает большую окружность в точке K1.
На чертеже эти точки K и K1 изображены, как одна - но именно это и есть предмет доказательства. Я буду доказывать, что точка K1 - середина большой дуги AB, то есть совпадает с точкой K.
Важно не забывать, что точка касания M лежит на линии центров OO1.
Треугольники OK1M и O1TM оба равнобедренные, и имеют общий угол OMT, следовательно, они подобны (из того, что есть один общий угол "при основании" у двух равнобедренных треугольников, следует, что все соответственные углы этих треугольников равны).
Поэтому OK1 II O1T; (легко увидеть признак параллельности равенство углов при секущей OM :) )
Ну, дальше - обычное заклинание "через точку O можно провести только одну прямую параллельную O1T". То есть точки K и K1 совпадают.
Это означает, что прямая MT, будучи продолжена за точку T, делит дугу AKB пополам (я напомню, что KO - диаметр, перпендикулярный хорде AB, поэтому точка K делит дугу AKB пополам. ).
Углы AMK и BMK - вписанные и опираются на равные дуги, поэтому они равны. Следовательно MT - биссектриса угла AMB;
AM/MB = AT/BT = 7/4;