Если провести через точку L прямую MN II BC (М лежит на АВ, N лежит на DC), то прямоугольные треугольники KLM и LND равны. Не подобны, а именно равны, LM = DN = 3a/4; KM = LN = a/4; a - сторона квадрата. Поэтому угол MLK = угол LDN. Две стороны этих углов ML и DN взаимно перпендикулярны, значит, и KL перпендикулряно LD.
(есть куча эквивалентных завершения доказательства, если непонятно, то можно например провести PQ II СD через L, тогда угол DLQ = угол MLK, то есть угол KLD получается из прямого угла MLQ поворотом на угол MLK.)
А вот векторное решение, для разнообразия (жирным обозначены векторы).
если ввести 2 перпендикулярных вектора a = АВ; b = BC;
Если провести через точку L прямую MN II BC (М лежит на АВ, N лежит на DC), то прямоугольные треугольники KLM и LND равны. Не подобны, а именно равны, LM = DN = 3a/4; KM = LN = a/4; a - сторона квадрата. Поэтому угол MLK = угол LDN. Две стороны этих углов ML и DN взаимно перпендикулярны, значит, и KL перпендикулряно LD.
(есть куча эквивалентных завершения доказательства, если непонятно, то можно например провести PQ II СD через L, тогда угол DLQ = угол MLK, то есть угол KLD получается из прямого угла MLQ поворотом на угол MLK.)
А вот векторное решение, для разнообразия (жирным обозначены векторы).
если ввести 2 перпендикулярных вектора a = АВ; b = BC;
скалярное произведение ab = ba = 0
то
AC = a + b; AL = 3(a + b)/4;
LK = a/2 - 3(a + b)/4 = - (a + 3b)/4;
LD = b - 3(a + b)/4 = (b - 3a)/4;
Легко видеть, что
скалярное произведение (LK LD) = (-1/4)(ab + 3a^2 - 3b^2 - 9ba) = 0;
(поскольку a^2 = b^2;)
то есть эти векторы перпендикулярны, чтд.