Точка K удалена от каждой стороны равностороннего треугольника ABC на 8 см, AB = 24 СМ. Вычислите велечину двугранного угла, ребром которого является прямая BC, а грани содержат точки K и A (с рисунком)

Вариант решения.
В четырехугольник можно вписать окружность только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
Трапеция - четырехугольник. 
Тогда сумма боковых сторон равна 16+4=20 см, а каждая из них равна 10 см. 
Опустив из тупых углов трапеции высоты, получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой 10 и одним из катетов на большем основании, равным (16-4):2=6.
Высоты - вторые катеты- можно найти по т. Пифагора, они равны 8 см. Диаметр вписанной в трапецию окружности равен ее высоте. 
Длина ее =2πr=π•d=8π см

Сторона правильного n-угольника равна a = 2Rsin(180°/n), откуда R = a/2sin(180°/n)
Радиус вписанной окружности равен r = Rcos(180°/n), откуда R = r/cos(180°/n). Приравняем эти два равенства:
a/2sin(180°/n) = r/cos(180°/n)
10/2sin(180°/n) = √3/(cos/180°/n)
5/sin(180°/n) = 5√3(cos180°/n)
5sin(180°/n) = 5√3cos(180°/n)
sin(180°/n) = √3cos(180°/n)
Это равенства выполняется тогда, когда cosA = 1/2, sinA = √3/2. Тогда угол правильного многоугольника равен 60° => данный многоугольник - треугольник.
Центральный угол будет равен 1/3•360° = 120° (т.к. отрезки, соединяющие центр описанной окружности с вершинами, будут равны и образовывать равные между собой углы).
Радиус описанной окружности тогда равен R = 10/2•√3/2 = 10√3 см.
ответ: R = 10√3 см, центральный угол = 120°.