Точка К віддалена від усіх вершин квадрата, сторона якого дорівнює 8см, на відстань 9см.
Знайдіть довжину перпендикуляра, проведеного з точки К до площини квадрата..

Большие диагонали разбивают правильный шестиугольник на 6 равных равносторонних треугольников: их боковые стороны равны как радиусы описанной окружности, а угол при вершине 360°:6 = 60°.

Тогда большая диагональ в 2 раза больше стороны шестиугольника.

Внутренние углы правильного шестиугольника равны
180°(6 - 2) / 6 = 180° · 4 / 6 = 120°

Пусть а - сторона шестиугольника.
Из  ΔАВС по теореме косинусов составим уравнение:
АС² = а² + а² - 2·а·а·cos120°
(9√3)² = 2a² + 2 · a² · 1/2
243 = 2a² + a²
3a² = 243
a² = 81
a = 9

AD = 2a = 18 см

См. чертеж.

К - середина АС. Поскольку центр SAC лежит на SK на расстоянии SK/3 от К, то искомое расстояние равно 2/3 от KQ, где KQ перпендикуляр к SP (необходимые перпендикулярности всех прямых и плоскостей докажите сами, там все просто), Р - середина MN. 

Если ребро пирамиды a = 6, то PN = a/4; (тут была ошибка! - приношу извинения)

SN = a√3/2;

Отсюда SP = √(SN^2 - PN^2) = a√(3/4 - 1/16) = a√11/4; 

Прямоугольные треугольники SOP и PQK имеют общий острый угол KPS, поэтому они подобны.

Поэтому SO/SP = KQ/КР;

SO - это высота тетраэдра, SO = a√(2/3);

КР = a√3/4 (половина высоты грани)

получается 

KQ = (a√(2/3)) (a√3/4)/(a√11/4) = a√(2/11); 

Соответственно, искомое расстояние от центра грани SAC до KP (то есть до плоскости SMN, что то же самое - это надо доказать тоже) равно (2/3)KP = 2a√(2/11)/3 = 4√(2/11);

 

Численно √(2/11) = 0,4264.... с точностью до 5 знака после запятой (именно так :)) Но это все-таки лучше, чем первоначальный ответ, в котором катет KQ был больше гипотенузы KP.