Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°. Углы при основаниях равнобедренной трапеции равны. ∠ABC = ∠DCB = 120°, ⇒ ∠BAC = ∠CDA = 60°.
В прямоугольном треугольнике ABD ∠ADB = 90° - 60° = 30°, тогда АВ = AD/2 = 6 см как катет, лежащий напротив угла в 30°. CD = AB = 6 см
∠CDB = ∠CDA - ∠ADB = 60° - 30° = 30° ∠CBD = ∠ADB = 30° как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей BD. Тогда ΔBCD равнобедренный и BC = CD = 6 см
Проведем высоту ВН. Из прямоугольного ΔАВН: ВН = АВ · sin60° = 6 · √3/2 = 3√3 см
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Доказательство: Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с. Составим из четырех таких треугольников квадрат со стороной а + b как на рисунке. Внутри получим квадрат со стороной с. Площадь большого квадрата равна сумме площадей составляющих его фигур: S = 4·SΔ + c² = 4 · ab/2 + c² или S = (a + b)² Приравняем правые части: 2ab + c² = (a + b)² 2ab + c² = a² + b² + 2ab c² = a² + b² Что и требовалось доказать.
Углы при основаниях равнобедренной трапеции равны.
∠ABC = ∠DCB = 120°, ⇒
∠BAC = ∠CDA = 60°.
В прямоугольном треугольнике ABD ∠ADB = 90° - 60° = 30°, тогда
АВ = AD/2 = 6 см как катет, лежащий напротив угла в 30°.
CD = AB = 6 см
∠CDB = ∠CDA - ∠ADB = 60° - 30° = 30°
∠CBD = ∠ADB = 30° как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей BD.
Тогда ΔBCD равнобедренный и BC = CD = 6 см
Проведем высоту ВН.
Из прямоугольного ΔАВН:
ВН = АВ · sin60° = 6 · √3/2 = 3√3 см
Sabcd = (AD + BC)/2 · BH = (12 + 6)/2 · 3√3 = 9 · 3√3 = 27√3 см²
Доказательство:
Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с.
Составим из четырех таких треугольников квадрат со стороной а + b как на рисунке.
Внутри получим квадрат со стороной с.
Площадь большого квадрата равна сумме площадей составляющих его фигур:
S = 4·SΔ + c² = 4 · ab/2 + c²
или
S = (a + b)²
Приравняем правые части:
2ab + c² = (a + b)²
2ab + c² = a² + b² + 2ab
c² = a² + b²
Что и требовалось доказать.