Точка M лежит внутри трёхгранного угла с вершиной K и удалена от его граней на расстояния 12, 16 и 21. Найдите углы, которые образует прямая KM со всеми гранями и рёбрами трёхгранного угла, если все его плоские углы прямые.

Рассмотрим треугольник DAB и треугольник CBD. Найдем соотношение их соответствующих сторон: DA/CB=AB/BD=DB/CD 6/8=9/12=12/16, сократим дроби: 3/4=3/4=3/4. Получили, что стороны этих треугольников пропорциональны, значит треугольники подобны. У подобных треугольников соответствующие углы равны, значит угол ADB равен углу DBС. Но для прямых AD, BC и секущей BD – это накрест лежащие углы, а значит AD параллельна BC. AB не параллельна CD, так как если бы они были параллельны, то мы получили бы параллелограмм, а у него противолежащие стороны равны, что противоречит условию задачи. Значит наш четырехугольник – трапеция.

Условие:

ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед, B₁C = 20, B₁A = 13, AD - AB = 11. Найти AA₁.

Каждое ребро прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно его двум параллельным граням

⇒  B₁B ⊥ AB, B₁B ⊥ BC

Каждая грань прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником

⇒  AD = BC,  A₁A = B₁B

AD - AB = 11    ⇒    BC - AB = 11   ⇒   BC = AB + 11

Пусть АВ = х, тогда ВС = х + 11

Рассмотрим прямоугольный ΔАВВ₁: По теореме Пифагора

АВ₁² = АВ² + В₁В²   ⇒    В₁В² = АВ₁² - АВ²

Рассмотрим прямоугольный ΔСВВ₁: По теореме Пифагора

В₁С² = ВС² + В₁В²   ⇒    В₁В² = В₁С² - ВС²

Значит, АВ₁² - АВ² = В₁С² - ВС²

13² - х² = 20² - (х + 11)²

169 - х² = 400 - х² - 22х - 121

22х = 110

х = 5    ⇒   АВ = 5  и  ВС = 5 + 11 = 16

Рассмотрим прямоугольный ΔАВВ₁: По теореме Пифагора

В₁В² = АВ₁² - АВ² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144

АА₁ = В₁В = 12

ответ: 12