Точка М належить гіпотенузі АВ прямокутного трикутника АВС. Відстані від точки М до катетів АВ і ВС дорівнюють відповідно 8 см і 4 см. Площа трикутника АВС дорівнює 100 см^2. Знайдіть катети трикутника

Площадь ромба:
                             S = a² * sinα = 8² * sin60° = (64√3)/2 = 32√3

Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом и
половина меньшей диагонали лежит напротив угла α/2 = 30°,
то длина половины меньшей диагонали равна половине диагонали треугольника, то есть стороне ромба:
                 d₁/2 = a/2   =>  d₁ = a = 8 (см)

Или так:
Треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю, является равнобедренным с углом при вершине α = 60°.
Значит 2 угла при основании равны также 60° и данный треугольник является равносторонним.
Следовательно, d₁ = a = 8 (см)
Таким образом, h = d₁ = 8 (см), где h - высота параллелепипеда

Объем параллелепипеда:
                           V = Sh = 32√3 *8 = 256√3 ≈ 443,4 (см³)

ответ: 443,4 см³

1) Расчет длин сторон.
АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √65 ≈ 8,062257748.
BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √45 ≈ 6,708203932. 
AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √20 ≈ 4,472135955.
Как видим, сумма квадратов сторон ВС и АС равна квадрату стороны АС.
Поэтому треугольник прямоугольный с прямым углом С.

2) cos A = AC/AB = √20/√65 = 2√13/13 ≈  0,5547.
 Угол А =  0,982794 радиан = 56,30993°.

3) Находим координаты точки N, как середины отрезка АС:
N((1+3)/2=2; (-6-2)/2=-4) = (2; -4).
BN = √((Хn-Хв)²+(Уn-Ув)²)) = √50 = 5√2 ≈ 7,071067812.