Точка м равноудалена от всех сторон ромба ,находится на расстоянии 2 см от плоскости ромба.найдите расстояние от точки м до вершин ромба ,если его диагонали 12 см и 16 см

Перефразируем :
вершина M пирамиды равноудалена от всех сторон основания (ромба  ABCD ), высота MO=2 . Пусть AC =16 см ; BD =12 см. Найти боковые ребра . Условие подсказывает, что
высота проходит через центр O окружности вписанной в основании (ромб). Эта точка пересечения диагоналей AC и  BD. AO=CO =AC/2 =16 см/2 =8 см ; BO =CO =BD/2 =6 см. 
Из ΔAOM по теореме Пифагора:  MA = √(AO² +MO²) =√(8² +2²) =√68 =√4*17 =2√17 (см).
MC =MA = 2√17 см.
 Аналогично найдем MB =MD =√(BO² +MO²) =√(6² +2²) =√40=√4*√10=2√10 ((см).

ответ : 2√17 см  ; 2√10 см .

Пусть проекция точки  на плоскость ромба -- точка . Пусть основания перпендикуляров  из на стороны ромба --  (не важно, в каком порядке). Тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, отрезки  перпендикулярны отрезку . Таким образом, мы получаем четыре прямоугольных треугольника: , у которых общий катет и равны гипотенузы (по условию ), значит, все эти прямоугольные треугольники равны друг другу. Значит, , таким образом, точка  так же равноудалена от сторон ромба, то есть лежит в центре вписанной окружности ромба, то есть на пересечении биссектрис, то есть это точка пересечения диагоналей (т. к. в ромбе диагонали являются биссектрисами).Пусть вершины ромба --  (так, что диагональ , а диагональ ). Тогда расстояние  является гипотенузой прямоугольного треугольника , катет  которого нам дан в условии, а катет  находим исходя из того, что точка -- точка пересечения диагоналей в ромбе, поэтому делит их пополам. Значит,. По теореме пифагора находим . . , т. к. прямоугольные треугольники и равны по двум катетам.
Абсолютно аналогично находим .