Точка М розташована на відстані 12 см від кожної вершини квадрата ABCD , кут між прямою МА та площиною квадрата = 60 градусів. Знайдіть відстань від точки м до сторони квадрата ( с рисунком )

Сторона вписанного правильного многоугольника образует с радиусами описанной около него окружности равносторонний треугольник.
В нашем случае это треугольник с боковыми сторонами, равными 4√3 и основанием, равным 12см. По теореме косинусов найдем угол при вершине этого треугольника:
Cosα = (b²+c²-a²)/2bc. (α - между b и c). В нашем случае:
Cosα=(2*(4√3)²-12²)/(2*4√3)²=-48/(2*48)=-(1/2).
То есть центральный угол тупой и равен 120°.
Следовательно, число сторон нашего вписанного многоугольника равно 360°/120°=3. Это ответ.

P.S. Можно проверить по формуле радиуса описанной около правильного треугольника окружности: R=(√3/3)*a. В нашем случае
R=(√3/3)*12=4√3, что соответствует условию задачи.

AB =16 ; ∠A =30° ; ∠B =105° .

1) BC -?
2) (меньшая сторона) -?

1) AB/sin∠C =BC/sinA   =  AC/sin∠B  = 2R (теорема синусов).
∠C =180° -(∠A +∠B )= 180° -(30° +105°) =45°.
16/sin45° =BC/sin30°⇒
BC =15*(sin30°/sin45°) =16*(1/2) / (1/√2) =(16√2)/2 =8√2≈11,28 (см).
---
2) меньшая сторона та, которая лежит против меньшего угла , 
эта сторона BC(лежит против меньшего угла ∠A=30°).  
 
длину  AC  не требуется , но :
AC /sin∠B = AB/sin∠C ⇒AC =AB*sin(∠B)/(sin∠C)=
16* sin105°/(1/√2) =16√2sin105°=16√2*√2(√3 +1)/4 =8(√3 +1) .

sin105° =sin(180°-75°) =sin75°=sin(45°+30°) =...
или 
sin105° =sin(60°+45°) =sin60°*cos45°+cos60°*sin45°=
(√3/2)*(√2/2)+(1/2)*(√2/2) =√2(√3 +1)/4.

* * * * * * *    Второй
∠C =180° -(∠A+∠B) =180° -(30°+105°) =45°.
Проведем высоту  BH⊥AC (∠AHB=90°) ⇒  Прямоугольный треугольник BHC  равнобедренный CH =BH ,т.к.  ∠C =45°.
По теореме Пифагора из ΔBHC:
BC =√ (BH² +CH²) =√(2BH²) =BH√2 . Но из ΔABH  BH=AB/2 =8(как катет против угла
∠A =30°). Значит BC =BH√2 =8√2.