Точка М знаходиться на відстані а√3 від кожної вершини рівностороннього трикутника зі стороною а. Знайдіть довжину перпендикуляра, проведенного з точки М до площини трикутника.

Обозначим пирамиду АВСS(смотри рисунок). Пирамида правильная значит в основании лежит правильный треугольник( обозначим его сторону а) и высота ОS пирамиды проецируется в центр основания. Кратчайшее расстояние МК перпендикулярна АS. Из треугольника SВК найдём боковое ребро. Прямоугольные треугольники АМК и АSО подобны по острому углу SАО. Отсюда находим Н. Дальше по теореме Пифагора, из треугольника АSО находим выражение  а квадрат. Подставляем найденные значения в известную формулу. ответ на рисунке.

Квадрат высоты проведённой к гипотенузе из прямого угла равен произведению проекций катетов на гипотенузу...проекции катетов это отрезки на которые высота делит гипотенузу обозначим один отрезок за Х тогда второй отрезок будет Х+6 имеем уравнение
x*(x+6)=4^2  
x^2+6x=16
x^2+6x-16=0 решишь надеюсь сам
D=100
x1=-8 корень не удовлетворяет условию задачи потому что отрезок не может быть отрицательным
x2=2
значит один отрезок=2
второй отрезок=2+6=8
гипотенуза=2+8=10
один катет=v(2^2+4^2)=v(4+16)=v20=2v5
второй катет=v(8^2+4^2)=v(64+16)=v80=4v5