Точка О - центр окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ. КА - касательная к данной окружности в точке А. КВ //АС. Перерисуйте данный рисунок и докажите, что: 1. угол АСВ = углу КАВ 2. треугольник КАВ - равнобедренный 3. отношение площадей треугольников ACB и KAB не зависит от линейных размеров сторон треугольников, а определяется только величиной угла ACB

Задание1) Угол КАВ, образованный касательной АК и хордой АВ, проходящей через точку касания А, равен половине величины дуги АВ, заключённой между его сторонами, центральный угол АОВ тоже опирается на дугу АВ, а угол АСВ- вписанный угол, опирающийся на дугу АВ, поэтому равен половине величины центрального угла.

Т.о., углы АСВ и КАВ равны.

Задание 2. Т.к. углы АВК И ВАС- это внутренние накрест лежащие при КВ║АС и секущей АВ, то они равны, пусть в треугольнике АСВ углы при основании АВ углы А и В, например равны β, а угол С равен α, в сумме они составляют  2β+α=180°⇒α=180-2β; В треугольнике АВК угол А равен β,угол А равен α, чтобы найти угол К, надо от 180°отнять (α+β), заменим α=180-2β. получим 180-(180-2β)-β=180°-180°+2β-β=β.

Значит, при основании ВК есть два угла, равные β. По признаку ΔАВК- равнобедренный.

Задание 3. Найдем площадь треугольников АСВ и КАВ. У них есть по паре равных углов. значит, по 2 признаку подобия КАВ и АСВ подобны, значит, сходственные стороны у них пропорциональны. ВС/АВ=АС/АК=к- коэффициент пропорциональности. Синусы равных углов равны.

Площадь треугольника АСВ равна (BC*АС*sin∠ACB)=(BC²*sin∠ACB); площадь треугольника КАВ равна (АК*АВ*sin∠КАВ)=(АВ²*sin∠КАВ);

Найдем теперь отношение площадей

sΔАСВ/sΔКАВ=(BC²*sin∠ACB)/(АВ²*sin∠КАВ)=к², откуда видно, что от величины угла АСВ при данном условии отношение площадей не зависит.