ДАНО: окружность, AB-диаметр, DM-касательная, DA перпенд. DM
Док-ть: АС- биссектриса угла BAD
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: проведем диаметр AB, такой, что он параллелен DM; проведем перпендикуляр из центра окружности к касательной; также проведем луч AC.
Рассмотрим прямоугольник ADCO: AO=OC(как радиусы), СO= DA(т.к. прямые DM и AB параллельны, а OC и DA - перпендикуляры) Рассмотрим треугольник АСО: угол О=90 градусов, АО=ОС => треугольник равнобедренный => угол САО=АСО= (180-90)\2= 45 градусов Угол АСО = DAC(как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и DM) И так как угол DAO равен углу САО(DAO=CAO=45),то АС является биссектрисой угла OAD(или BAD- это просто один и тот же угол)
1)Есть такая теорема КОСИНУСОВ, а²=в²+с²-2ав*cosα, где а, в, с, стороны треугольника, уголα образуют стороны в и с, т.е. угα лежит напротив стороны а. Нужно найти угол напротив стороны=14см. 14²=9²+12²-2*9*12*cosα 196=81+144-216*cosα 196=225-216*cosα 29=216*cosα cosα=29/216 cosα=0,1342592 По таблице Брадиса найдешь чему будет равен уголα, если я не ошибаюсь то он должен быть =82,28 град, тоесть он острый, т.к. меньше 90 градусов 2)В параллелограмме сумма углов=360 град, а противолежащие углы равны. Тогда найдем два других угла (360-(60+60))/2=(360-120)/2=240/2=120 град. По условию задачи построим чертеж и получим треугольник со сторонами 4 и 5 см, углом между ними=120 град, и стороной, которую нужно найти, при этом эта сторона является диагональю параллелограмма. По теореме косинусов х²=4²+5²-2*4*5*cos120 х²=16+25-40*(-0,5) х²=41+20 х²=61 х=√61, где х-диагональ параллелограмма. 3)Из построения по условию задачи АВ лежит против угла С=30 град, АС лежит против угла В=45 град. По теореме синусов а/sinα=в/sinβ=с/sinω, где а лежит напротив угла α, в лежит напротив угла β, с лежит напротив угла ω. тогда по этой теореме АВ/sin30=АС/sin45, тогда 4/sin30=АС/sin45 АС=4*sin45/sin30 АС=(4*(√2)/2)/(1/2) АС=4√2 4)Против большей стороны лежит больший угол, против меньшей стороны лежит меньший угол, значит угол лежащий против стороны PQ=7.5м,-меньший угол угол лежащий напротив стороны PR=11.3м-больший угол 5)из построения угол А лежит напротив ВС, угол В лежит напротив АС, угол С лежит напротив АВ. Сперва найдем угол С=180-40-80=60, значит Угол В больше угла С, тогда АС больше АВ. 6)По теореме косинусов 17²=15²+8²-2*15*8*cosα 289=289-240*cosα -240*cosα=0 cosα=0 α=90 град.
Док-ть: АС- биссектриса угла BAD
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: проведем диаметр AB, такой, что он параллелен DM;
проведем перпендикуляр из центра окружности к касательной;
также проведем луч AC.
Рассмотрим прямоугольник ADCO: AO=OC(как радиусы), СO= DA(т.к. прямые DM и AB параллельны, а OC и DA - перпендикуляры)
Рассмотрим треугольник АСО: угол О=90 градусов, АО=ОС => треугольник равнобедренный => угол САО=АСО= (180-90)\2= 45 градусов
Угол АСО = DAC(как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и DM)
И так как угол DAO равен углу САО(DAO=CAO=45),то АС является биссектрисой угла OAD(или BAD- это просто один и тот же угол)
2)В параллелограмме сумма углов=360 град, а противолежащие углы равны. Тогда найдем два других угла (360-(60+60))/2=(360-120)/2=240/2=120 град. По условию задачи построим чертеж и получим треугольник со сторонами 4 и 5 см, углом между ними=120 град, и стороной, которую нужно найти, при этом эта сторона является диагональю параллелограмма. По теореме косинусов х²=4²+5²-2*4*5*cos120 х²=16+25-40*(-0,5) х²=41+20 х²=61 х=√61, где х-диагональ параллелограмма.
3)Из построения по условию задачи АВ лежит против угла С=30 град, АС лежит против угла В=45 град. По теореме синусов а/sinα=в/sinβ=с/sinω, где а лежит напротив угла α, в лежит напротив угла β, с лежит напротив угла ω. тогда по этой теореме АВ/sin30=АС/sin45, тогда 4/sin30=АС/sin45 АС=4*sin45/sin30 АС=(4*(√2)/2)/(1/2) АС=4√2
4)Против большей стороны лежит больший угол, против меньшей стороны лежит меньший угол, значит угол лежащий против стороны PQ=7.5м,-меньший угол
угол лежащий напротив стороны PR=11.3м-больший угол
5)из построения угол А лежит напротив ВС, угол В лежит напротив АС, угол С лежит напротив АВ. Сперва найдем угол С=180-40-80=60, значит Угол В больше угла С, тогда АС больше АВ.
6)По теореме косинусов 17²=15²+8²-2*15*8*cosα 289=289-240*cosα -240*cosα=0 cosα=0 α=90 град.