Точка P - середина висоти, яка проведена до основи BC рівнобедреного трикутника ABC. Пряма BP перетинає бічну сторону AC у точці M. Доведіть, що CM=2AM.

Обозначим точку пересечения АД и ВМ как Е.

ВЕ перпендикулярно АД, углы равны, значит, АВ = ВД.

Примем АВ = х, тогда ВС = 2х.

Обозначим АМ = у, по свойству биссектрисы СМ = 2у.

Далее используем формулы.

Медиана: 4АД² = 2х² +2(3у)² - (2х)².

4*256 = -2х² + 18у²  или, сократив на 2: 512 = -х² + 9у².

Биссектриса: ВМ = (√(х*2х*(3х + 3у)*(3х - 3у))/(х + 2х).

Возведём обе части в квадрат.

9х²*256 = 2х²(9х² - 9у²), сократим на 2, 9 и х²:

128 = х² - у².

Вместо х² подставим его значение из медианы.

128 = -512 + 9у² -  у².

8у² = 640 или у² = 80. Отсюда у = √80.

Тогда х² = 128 + х² = 128 + 80 = 208. Отсюда х = √208.

ответ: АВ = √208, ВС = 2√208, АС = 3√80.

6. RMN - правильный => RN=NM=MR=6

RK - высота, медиана, биссектриса => NK=KM=3

По теореме Пифагора: RM^2=MK^2+RK^2 => RK=/RM^2-RK^2=/36-9=5

ответ:5

7. MPR- прааильный => MP=PR=RM=x

RT - высота, медиана биссектриса =8 =>PT=x:2

По теореме Пифагора: PR^2=PT^2+RT^2

x2=-4 - не подходит по условию

ответ: 4

*Если тебе поставь сердечко:) Тебе не сложно - мне приятно♡

**Правильный треугольник - все стороны равны

*** Теорема пифагора: гипотенуза в квадрате равна катет в квадрате плюс другой катет в квадрате

****число или буква в "^2" - число или буква в квадрате