Точка Q делит ребро BB′ куба ABCDA′B′C′D′ в отношении 1:4, считая от вершины B. Через точку Q и вершину C проходит сечение куба, параллельное B′D. Вычислить косинус острого угла между гранью ADD′A′ и плоскостью сечения. ответ представить в виде найденного косинуса, умноженного на 10,5−−−−√. (Впишите целое число)

Полезно помнить, что высота тупоугольного треугольника, проведенная из вершины острого угла, расположена ВНЕ треугольника и пересекает  продолжение стороны. к которой проведена. 

                    * * *

В равнобедренном треугольнике с углом при вершине, равным 120°, углы при основании равны  (180°-120°):2=30° 

Обозначим высоту, проведенную к основанию,  ВН. По условию ВН=10.

В прямоугольном ∆ АВН гипотенуза АВ=ВН:sin30°=20

В прямоугольном ∆ ВDС угол CBD=60° (смежный углу АВС). ⇒ 

угол ВСD=30°, 

В ∆ АВС стороны ВС=АВ=20 см, ⇒ BD=BC•sin30°=20•0,5=10 см

AD=AB+DB=20+10=30 см

 

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания. 
Все грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники. 
Поэтому если плоский угол ври вершине равен 60°, то эти треугольники - равносторонние. Следовательно, стороны основания равны боковому ребру.
Поэтому в пирамиде МАВС
АВ=ВС=АС= МА=4 см.
Объём пирамиды равен одной трети произведения её высоты на площадь основания.
Для правильного треугольника 
S(АВС=(a²√3):4 
S=16√3/4=4√3
Центр ∆ АВС лежит в точке пересечения медиан (высот, биссектрис) правильного  треугольника. 
По свойству медиан АО=2/3•АН=АВ•sin60°•2/3
AO=(4•√3/2)•2/3=4/√3
Из прямоугольного  ∆ АМО по т.Пифагора 
МО=√(АМ²-АО²)=(4√2)/√3 
V= см³≈7,54 см³
-------
Правильная треугольная пирамида с плоским углом при вершине 60° -  правильный тетраэдр. 
Формула его объёма 
  где а - длина его ребра.
 см³