Допустим, имеем параллелограмм ABCD, в котором AC и BD - диагонали. Доказательство: 1. Необходимо опустить перпендикуляры BK и CF на прямую, которая содержит сторону AD. 2. Рассмотрим ΔBDK: По теореме Пифагора: BD²=KD²+BK² 3. Рассмотрим ΔACF: По теореме Пифагора: AC²=AF²+CF² 4. Складываем два выражения в столбик: BD²=KD²+BK² + AC²=AF²+CF² = AC²+BD²=KD²+BK²+AF²+CF² По свойству высот в параллелограмме, BK=CF ⇒ AC²+BD²=2BK²+KD²+AF² 5. Рассмотрим ΔABK: По теореме Пифагора: BK²=AB²-AK² 6. Так как KD=AD-AK, AF=AD+FD ⇒ AC²+BD²=2(AB²-AK²)+(AD-AK)²+(AD+FD)² 7. BK=CF, AB=CD ⇒ ΔABK=ΔDCF - по свойству катета и гипотенузы ⇒ AK=DF ⇒ AC²+BD²=2(AB²-AK²)+(AD-AK)²+(AD+AK)² AC²+BD²=2AB²-2AK²+AD²-2AD*AK+AK²+AD²+2AD*AK+AK² AC²+BD²=2AB²+2AD² AC²+BD²=2(AB²+AD²) Что и требовалось доказать.
Нарисуем треугольник АВС ( С=90°) и вписанную в него окружность. Из центра в точки касания проведем радиусы, которые, как известно, перпендикулярны касательным в точках касания. Обозначим точки касания К на АС, М - на СБ, и Н на АВ. По свойству отрезков касательных АК=АН, МВ=ВН, и КС=СМ=r=2 Пусть МВ=х Тогда ВН=х, а АК=АН=12-х АС=12-х+2=14-х ВС=х+2 По т.Пифагора АС²+ВС²=АВ² (14-х)²+(2+х)²=144⇒ x² - 12*x + 28 = 0 D=32 х₁=(12+ 2√8):2=6 + √8 х₂=6-√8 ВС=6 + √8+2=8+√8 АС=14-(6 + √8)=8-√8 S (АВС)=АС*ВС:2=(8+√8)(8-√8) S (АВС)=(64-8):2=28 (единиц площади) --- Площадь будет такой же, если используем второе значение х₂=6-√8
Доказательство:
1. Необходимо опустить перпендикуляры BK и CF на прямую, которая содержит сторону AD.
2. Рассмотрим ΔBDK:
По теореме Пифагора:
BD²=KD²+BK²
3. Рассмотрим ΔACF:
По теореме Пифагора:
AC²=AF²+CF²
4. Складываем два выражения в столбик:
BD²=KD²+BK²
+
AC²=AF²+CF²
=
AC²+BD²=KD²+BK²+AF²+CF²
По свойству высот в параллелограмме, BK=CF ⇒ AC²+BD²=2BK²+KD²+AF²
5. Рассмотрим ΔABK:
По теореме Пифагора:
BK²=AB²-AK²
6. Так как KD=AD-AK, AF=AD+FD ⇒ AC²+BD²=2(AB²-AK²)+(AD-AK)²+(AD+FD)²
7. BK=CF, AB=CD ⇒ ΔABK=ΔDCF - по свойству катета и гипотенузы ⇒ AK=DF ⇒
AC²+BD²=2(AB²-AK²)+(AD-AK)²+(AD+AK)²
AC²+BD²=2AB²-2AK²+AD²-2AD*AK+AK²+AD²+2AD*AK+AK²
AC²+BD²=2AB²+2AD²
AC²+BD²=2(AB²+AD²)
Что и требовалось доказать.
Из центра в точки касания проведем радиусы, которые, как известно, перпендикулярны касательным в точках касания.
Обозначим точки касания К на АС, М - на СБ, и Н на АВ.
По свойству отрезков касательных
АК=АН, МВ=ВН, и КС=СМ=r=2
Пусть МВ=х
Тогда ВН=х, а АК=АН=12-х
АС=12-х+2=14-х
ВС=х+2
По т.Пифагора АС²+ВС²=АВ²
(14-х)²+(2+х)²=144⇒
x² - 12*x + 28 = 0
D=32
х₁=(12+ 2√8):2=6 + √8
х₂=6-√8
ВС=6 + √8+2=8+√8
АС=14-(6 + √8)=8-√8
S (АВС)=АС*ВС:2=(8+√8)(8-√8)
S (АВС)=(64-8):2=28 (единиц площади)
---
Площадь будет такой же, если используем второе значение х₂=6-√8